[論文レビュー] Tensor products and regularity properties of Cuntz semigroups

Ramon Antoine, Francesc Perera+1 more|Oct 2, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 87被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、Cuntz半群の圏 $Χ$ におけるテンソル積の存在を確立し、技術的道具として前完了Cuntz半群の圏 $Χ$ を導入する。また、強く自己吸収的 $C^*$-代数の類似物としての「固体」$Χ$-半環を定義し、UCTを満たす強く自己吸収的 $C^*$-代数のCuntz半群が固体であること、およびその半環上の半モジュールを介してToms-Winter予想と結びつくことを証明する。

ABSTRACT

The Cuntz semigroup of a C*-algebra is an important invariant in the structure and classification theory of C*-algebras. It captures more information than K-theory but is often more delicate to handle. We systematically study the lattice and category theoretic aspects of Cuntz semigroups. Given a C*-algebra $A$, its (concrete) Cuntz semigroup $Cu(A)$ is an object in the category $Cu$ of (abstract) Cuntz semigroups, as introduced by Coward, Elliott and Ivanescu. To clarify the distinction between concrete and abstract Cuntz semigroups, we will call the latter $Cu$-semigroups. We establish the existence of tensor products in the category $Cu$ and study the basic properties of this construction. We show that $Cu$ is a symmetric, monoidal category and relate $Cu(A\otimes B)$ with $Cu(A)\otimes_{Cu}Cu(B)$ for certain classes of C*-algebras. As a main tool for our approach we introduce the category $W$ of pre-completed Cuntz semigroups. We show that $Cu$ is a full, reflective subcategory of $W$. One can then easily deduce properties of $Cu$ from respective properties of $W$, e.g. the existence of tensor products and inductive limits. The advantage is that constructions in $W$ are much easier since the objects are purely algebraic. We also develop a theory of $Cu$-semirings and their semimodules. The Cuntz semigroup of a strongly self-absorbing C*-algebra has a natural product giving it the structure of a $Cu$-semiring. We give explicit characterizations of $Cu$-semimodules over such $Cu$-semirings. For instance, we show that a $Cu$-semigroup $S$ tensorially absorbs the $Cu$-semiring of the Jiang-Su algebra if and only if $S$ is almost unperforated and almost divisible, thus establishing a semigroup version of the Toms-Winter conjecture.

研究の動機と目的

• 前完了Cuntz半群の圏 $Χ$ を導入することで、Cuntz半群のカテゴリカルな枠組みを構築すること。
• 圏 $Χ$ におけるテンソル積の存在を確立し、特定の $C^*$-代数について $Χ(A igotimes B)$ と $Χ(A) igotimes_{Χ} Χ(B)$ の関係を明らかにすること。
• 強く自己吸収的 $C^*$-代数の半群的類似物としての「固体」$Χ$-半環を定義し、その性質を研究すること。
• 固体$Χ$-半環上の半モジュールである$Χ$-半群の特徴づけを、特にJiang-Su代数の$Χ$-半群と関連付けて行うこと。
• Jiang-Su代数の$Χ$-半環上の半モジュールの特徴づけを通じて、半群レベルでのToms-Winter予想の類似形を提示すること。

提案手法

• テンソル積や帰納的極限の取り扱いが容易になる純粋な代数的設定として、前完了Cuntz半群の圏 $Χ$ を導入する。
• $Χ$ が $Χ$ の完全で反射的部分圏であることを示し、$Χ$ から $Χ$ への性質の移行を可能にする。
• 双準同型の圏における代表対象の普遍性を活用して、$Χ$ におけるテンソル積を構成する。
• $Χ$-半環 $R$ と $Χ$-半群 $S$ に対して $R igotimes S$ に半環構造を定義し、$R igotimes_{Χ} S$ が自然な半環構造を備えた $Χ$-半群となるようにする。
• 自然な写像 $R igotimes_{Χ} R o R$ が同型であるような $Χ$-半環を「固体」と定義する。
• Grothendieck完成化と正錐関手を用いて、部分的に順序付けられた環と可換で、錐型の半環との関係を確立し、テンソル積と整合性を保つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz半群の圏 $Χ$ は、うまく定義されたテンソル積構造を備えているか？
• RQ2 C*-代数のテンソル積のCuntz半群は、個々のCuntz半群のテンソル積とどのように関係するか？
• RQ3 $Χ$-半環が強く自己吸収的 $C^*$-代数の性質を示すために、カテゴリカルかつ代数的に特徴づけられるか？
• RQ4 C*-代数の$Χ$-半群が固体$Χ$-半環上の半モジュールであるための条件は何か？
• RQ5 Jiang-Su代数の$Χ$-半環上の半モジュール構造を通じて、半群レベルでのToms-Winter予想の類似形を定式化し、証明できるか？

主な発見

• 前完了Cuntz半群の圏 $Χ$ は、帰納的極限やテンソル積を含むすべての小さな余極限を備える。
• 写像 $A \to Χ(A)$ は $C^*$-代数から $Χ$ への関手であり、帰納的極限を保存する。
• UCTを満たす強く自己吸収的 $C^*$-代数の$Χ$-半群は、固体$Χ$-半環である。
• $Χ$-半群 $S$ がJiang-Su代数の$Χ$-半環上の半モジュールであるための必要十分条件は、$S$ がほとんど非剥離的かつほとんど可除的であることである。
• 固体$Χ$-半環 $R$ と$Χ$-半群 $S$ のテンソル積 $R \bigotimes_{Χ} S$ が $S$ と同型であるための必要十分条件は、$S$ が $R$ 上の半モジュールであることである。
• $Χ$-半環と半モジュールの理論は、Jiang-Su代数の$Χ$-半環が中心的役割を果たす半群レベルでのToms-Winter予想の類似形を提供する。