[論文レビュー] Tensor Valued Colombeau Functions on Manifolds

Michael Grosser|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スムーズ多様体上のテンソル値一般化関数のための新しい基本空間 $\tilde{\boldsymbol{\mathcal{E}}}^{r}_{s}(M)$ を、スカラー理論を拡張して輸送作用素のための第三のスロットを追加することによって導入する。この構成により、リー微分との整合性が保たれ、分布的テンソル場の ${\rm C}^\infty(M)$-線形性が、新たな埋め込み $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}$ を通じて維持され、テンソル設定におけるシュワルツの不可能性結果が解消される。

ABSTRACT

Extending the construction of the (intrinsically defined) full algebra of scalar valued Colombeau functions on a smooth manifold M (Grosser et al., Adv. Math. 166 (2002), 179-206) we present a suitable basic space for eventually obtaining tensor valued generalized functions on M, via the usual quotient construction. This basic space canonically contains the tensor valued distributions and permits a natural extension of the classical Lie derivative. Its members are smooth functions depending - via a third slot - on so-called transport operators, in addition to slots one (smooth n-forms on M) and two (points of M) from the scalar case.

研究の動機と目的

• スムーズ多様体上のテンソル値一般化関数へのスカラー・コロンブオー代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}(M)$ の拡張。
• テンソル分布における ${\rm C}^\infty(M)$-線形性の埋め込みを保つような基本空間の構築により、シュワルツ型の不可能性結果を克服すること。
• 古典的リー微分をテンソル値一般化関数設定に自然に拡張すること。
• 一貫した引き戻し構成を通じて、微分同相写像と一般化関数代数の整合性を保証すること。
• 中程度および無視可能な要素を通じて、完全なテンソル値コロンブオー代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ の基礎を提供すること。

提案手法

• 基本空間 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ に三スロット構造を導入し、それぞれが (1) 細胞的台を持つ $n$-形式 $\nu \to \nu$、(2) ポイント $p \to p$、(3) 輸送作用素 $A \to A$ を対応付ける。
• 埋め込み $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ を、$(\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} u)(\nu, p, A) \bullet \tilde{t}(p) := \big\bra u, A^{r}_{s}(p, \bullet)(\tilde{t}(p)) \bullet \nu(\bullet) \big\bracket$ により定義する。
• 微分同相写像 $\nu: M \to N$ に対して、$\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s} \big)^{-1}$ を構成し、$\nu^*$ による分布への作用と整合性を保証する。
• 一般化リー微分 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$ を $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 上に定義し、$\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$ を満たすようにし、分布上の古典的リー微分作用を保つ。
• スカラー理論における中程度性および無視可能性の概念を三スロット構造に適応し、$(\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M)$ および $\tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ を定義し、商代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ を得る。
• 商代数において埋め込み $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}$ が ${\rm C}^\infty(M)$-線形になるように保証し、座標ごとのアプローチにおける線形性の失敗を是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上のスカラー関数のコロンブオー代数を、本質的な幾何的構造を保ちつつ、テンソル値一般化関数に一般化する方法は何か？
• RQ2 輸送作用素を含む三スロット構造は、シュワルツの不可能性結果が示唆するように、座標ごとのテンソル埋め込みにおける ${\rm C}^\infty(M)$-線形性の失敗を解消できるか？
• RQ3 古典的リー微分をテンソル分布上から一般化テンソル場の設定に自然に拡張する方法は何か？
• RQ4 分布的テンソル場の埋め込みと可換となるような、微分同相写像下での一般化テンソル場の引き戻しの適切な定義は何か？
• RQ5 中程度要素を無視可能な要素で割った商構成を、テンソル値の場合に適応して一貫した代数的構造を得る方法は何か？

主な発見

• $n$-形式、点、輸送作用素のスロットを備えた提案された基本空間 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ は、多様体上のテンソル値一般化関数のための標準的枠組みを提供する。
• 埋め込み $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ は明示的に定義され、$f \to {\rm C}^\infty(M)$ に対して $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f \bullet u) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f) \bullet \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u)$ を満たすため、シュワルツの不可能性結果が解消される。
• 一般化リー微分 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$ は $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 上で適切に定義され、$\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$ を満たし、分布上での古典的リー微分作用と整合的である。
• 微分同相写像 $\nu: M \to N$ による一般化テンソル場の引き戻しは、$\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \nu^* u \big) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u) \big( \nu^{-1} \big)$ により一貫して定義され、変換法則が保たれる。
• 商代数 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ は適切に定義され、基本空間からの微分同相写像およびリー微分の幾何的作用を引き継ぐ。
• 滑らかなテンソル場 $f \to \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)$ の埋め込みは $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)(\nu, p, A) := f(p)$ で与えられ、一般化関数代数におけるテンソル積構造が保たれる。