[論文レビュー] Tensors, monads and actions

Gavin J. Seal|arXiv (Cornell University)|May 1, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、モノイダル圏 $\mathsf{C}$ 上のモノイダルモナド $\mathbb{T}$ が、Eilenberg–Moore 圈 $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ にモノイダル構造を誘導する十分条件を確立する。これにより、$\mathsf{C}^\mathbb{T}$ 内の作用の圈权が $\mathsf{C}$ 上でモノイダル的になる。主な結果は、忘却函手の合成 $(\mathsf{C}^\mathbb{T})^{M} \to \mathsf{C}^\mathbb{T} \to \mathsf{C}$ がモノイダル的であることを示し、環上の加群や量体上の作用といった古典的例を一般化する。

ABSTRACT

We exhibit sufficient conditions for a monoidal monad T on a monoidal category C to induce a monoidal structure on the Eilenberg--Moore category C^T that represents bimorphisms. The category of actions in C^T is then shown to be monadic over the base category C.

研究の動機と目的

• モノイダルモナド $\mathbb{T}$ がその Eilenberg–Moore 圈に誘導するモノイダル構造が双線形写像を表現できるような条件を確立すること。
• モノイダル Eilenberg–Moore 圈内の作用の圈权が、基本圈权上モノイダル的であることを示すこと。
• 環上の加群や量体上の作用といった古典的例を、圏論的枠組みに一般化すること。
• 誘導されたテンソル構造が存在するための、基本圈权に対する検証可能な条件を提供すること。閉性や対称性に依存しないようにすること。

提案手法

• 自由代数のテンソルの性質を保証するため、反射的余同値を用いて $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ 上のテンソル $\boxtimes$ を余同値構成により定義する。
• 自由代数のテンソル積を、$\mathsf{C}$ 内のテンソルの自由代数として構成するため、反射的余同値を用いる。これは結合性の証明に不可欠である。
• モノイダルモナドの準同型 $\mathbb{S} \to \mathbb{T}$ が、$\mathsf{C}^\mathbb{T} \to \mathsf{C}^\mathbb{S}$ におけるモノイダル函手を誘導することを示し、モノイダル構造を保存することを保証する。
• 双線形写像および代数的函手の理論を用いて、函手 $\mathsf{C}^{(M,\mathbb{T})} \to \mathsf{C}$ がモノイダル的であることを示す。
• モノイダルの自己スケーリング関手が、モノイダルの自己スケーリング関手がモノイダルの自己スケーリング関手を介して誘導されるモナド準同型から生じることを用い、モジュール圈权間のスケーリング関手が代数的であることを示す。
• アーベル群や上半順序半群の例を通じて条件を検証し、古典的構成と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル圏 $\mathsf{C}$ 上のモノイダルモナド $\mathbb{T}$ が、Eilenberg–Moore 圈 $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ にモノイダル構造を誘導するための条件は何か？
• RQ2 作用の圈权 $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ が、基本圈权 $\mathsf{C}$ 上でモノイダル的であるのはいつか？
• RQ3 基本圈权の閉性や対称性を仮定せずに、$\mathsf{C}^\mathbb{T}$ 上のモノイダル構造を構成できるか？
• RQ4 モノイダルモナド準同型 $\mathbb{S} \to \mathbb{T}$ と、作用の圈权間の函手との関係は何か？
• RQ5 函手 $\mathsf{C}^{(M,\mathbb{T})} \to \mathsf{C}$ がモノイダル的であるための条件は何か？

主な発見

• Eilenberg–Moore 圈 $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ は、モノイダルモナド $\mathbb{T}$ から誘導されるモノイダル構造 $\boxtimes$ を持ち、双線形写像を表現するのに適している。
• テンソル積 $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ は、反射的余同値および自由代数の性質により、結合的かつ単位的であることが証明された。
• 作用の圈权 $\mathsf{C}^{(M,\mathbb{T})}$ は、$\mathsf{C}$ 上でモノイダル的であり、加群や量体上の作用のモノイダル的性質を一般化する。
• 函手 $\mathsf{C}^{(M,\mathbb{T})} \to \mathsf{C}$ はモノイダル的であり、$M$ が $\mathsf{C}^\mathbb{T}$ 上に作用するモナドによって誘導される。
• モジュール圈权間のスケーリング関手は代数的であり、モノイダルの自己スケーリング関手から生じるモナド準同型によって誘導される。
• 構成は古典的例で検証された：$\mathsf{AbGrp}$ は $\mathsf{Set}^\mathbb{A}$ として、$\mathsf{Sup}$ は $\mathsf{Set}^\mathbb{P}$ として表され、既知のモノイダル構造と整合する。