[論文レビュー] Terraces for Small Groups

M. A. Ollis|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、GAPにおけるヒューリスティックおよびバックトラッキングアルゴリズムを用いて、位数511までの小さな群におけるテラスとシーケンシングを調査している。非巡回的素数2群に限ってテラスを持たないという Bailey の予想（すべての非巡回的初等アーベル2群がテラスを持たない唯一の非テラス群である）は、位数511まで確認されたが、256および384の可能性のある例外を除く。また、非アーベル群が位数10以上であればすべてシーケンシング可能であるという Keedwell の予想は、位数255までおよび特定の群の族（A₆、S₆、PSL(2,q)およびPGL(2,q)、qが小さい場合）についても確認された。さらに、非巡回的奇数位数群における最初の有向T₂-テラス（位数21）が構成され、位数27および39の非アーベル群に対してナルシスティックおよびハーフアンドハーフテラスが構成された。また、すべての位数≤15の群について、本質的に異なるテラスおよび有向テラスの総数が完全に特定された。

ABSTRACT

We use heuristic algorithms to find terraces for small groups. We show that Bailey's Conjecture (that all groups other than the non-cyclic elementary abelian 2-groups are terraced) holds up to order 511, except possibly at orders 256 and 384. We also show that Keedwell's Conjecture (that all non-abelian groups of order at least 10 are sequenceable) holds up to order 255, and for the groups $A_6$, $S_6$, $PSL(2,q_1)$ and $PGL(2, q_2)$ where $q_1$ and $q_2$ are prime powers with $3 \leq q_1 \leq 11$ and $3 \leq q_2 \leq 8$. A sequencing for a group of a given order implies the existence of a complete latin square at that order. We show that there is a sequenceable group for each odd order up to 555 at which there is a non-abelian group. This gives 31 new orders at which complete latin squares are now known to exist, the smallest of which is 63. In addition, we consider terraces with some special properties, including constructing a directed $T_2$-terrace for the non-abelian group of order 21 and hence a Roman-2 square of order 21 (the first known such square of odd order). Finally we report the total number terraces and directed terraces for groups of order at most 15.

研究の動機と目的

• 位数511までに、非巡回的初等アーベル2群以外の群がテラスを持たないという Bailey の予想を検証すること。
• 位数255までおよび特定の群族（A₆、S₆、PSL(2,q)およびPGL(2,q)）について、非アーベル群が位数10以上であればすべてシーケンシング可能であるという Keedwell の予想を検証すること。
• 非アーベル群の小さな奇数および偶数位数に対して、有向T₂-テラス、ハーフアンドハーフテラス、ナルシスティックテラスなどの特別なテラスを構成すること。
• すべての位数≤15の群について、本質的に異なるテラスおよび有向テラスの総数を計算すること。
• 新しい奇数位数（63を含む）における完全ラテン方陣の存在を支持する計算的証拠および構成を提供すること。

提案手法

• GAPにおけるヒューリスティックな勾配上昇法アルゴリズムを用いて、小さな群における有向テラスおよびシーケンシングの探索を実施した。
• バックトラッキングアルゴリズムを用いて、T₂-テラス、ハーフアンドハーフテラス、ナルシスティックテラスなどの特別なテラスを構成した。
• 群論的変換（左乗法を用いた正規化）を実装し、同値性の確認のための基本形へのテラスの正規化を実施した。
• 正規化後に群の自己同型をテストすることで、「本質的に異なるテラス」の概念を適用した。
• 既知の値と照合し、先行研究における誤り（例：t(ℤ₅)およびt(ℤ₃²)）を是正した。
• 再現可能性および今後の研究のため、コードとデータを公開ウェブサイトに提供した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数511までのすべての群について、非巡回的初等アーベル2群に限ってテラスを持たないという Bailey の予想は成り立つか？
• RQ2 位数255までおよびPSL(2,q)およびPGL(2,q)のような特定の族について、非アーベル群が位数10以上であればすべてシーケンシング可能であるという Keedwell の予想は成り立つか？
• RQ3 非巡回的奇数位数群に対して有向T₂-テラスを構成できるか。もし可能であれば、最初の例は何か？
• RQ4 奇数位数の非アーベル群はナルシスティックまたはハーフアンドハーフテラスを持つのか。このようなテラスは無限族の生成に利用可能か？
• RQ5 すべての位数≤15の群について、本質的に異なるテラスおよび有向テラスの正確な数は何か？

主な発見

• Bailey の予想は、位数511まで成り立つが、256および384の場合一時的な例外がある可能性がある。
• Keedwell の予想は、位数255までおよびA₆、S₆、PSL(2,q₁)（3≤q₁≤11）およびPGL(2,q₂)（3≤q₂≤8）について確認された。
• 非巡回的奇数位数群（位数21）における最初の有向T₂-テラスが構成され、奇数位数の最初の既知のローマン-2平方が得られた。
• 位数27の非アーベル群は2つともナルシスティックおよび有向ハーフアンドハーフテラスを持つ。また、G₃₉,₁は有向ハーフアンドハーフテラスを持つ。
• 完全ラテン方陣が存在することが新たに判明した31の位数が報告され、その最小の位数は63である。
• 完全な列挙により、すべての位数≤15の群について、本質的に異なるテラスおよび有向テラスの数が確認され、先行研究における誤りが是正された。