[論文レビュー] Monogenic fields with odd class number Part I: odd degree

Artane Siad|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、奇数次数の単生成体の類群における2-torsion元の平均値を、ウッドの軌道パラメータ化を用いて評価し、驚くべき乖離が生じることを明らかにした：平均値はコーエン＝レングストラ＝マルティネッティ＝マーレの予測の2倍である。さらに、単生成性は類群および狭類群の両方における2-torsionを増加させることを示し、符号数 $(r_1, r_2)$ を持つ単生成順序に対して、無条件で平均差が $1 + 2^{1 - r_1 - r_2}$ に等しいことが判明した。

ABSTRACT

We bound the average number of $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of odd degree (and compute it precisely conditional on a tail estimate) using an orbit parametrisation of Wood. Curiously, we find that the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of any given odd degree is twice the value predicted for the full family of fields of that degree by the Cohen-Lenstra-Martinet-Malle heuristic! We also find that monogenicity has an increasing effect on the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the narrow class group. In addition, we obtain unconditional statements for monogenised rings of odd degree. For an order $\mathcal{O}$, denote by $\mathcal{I}_2(\mathcal{O})$ the group of $2$-torsion ideals of $\mathcal{O}$. We show that the average value of the difference $ \left|{ m Cl_2}(\mathcal{O}) ight|-2^{1-r_1-r_2}\left| \mathcal{I}_2(\mathcal{O}) ight|$ over all monogenised orders $\mathcal{O}$ of fixed signature $(r_1,r_2)$ is $1+2^{1-r_1-r_2}$. For $3$-torsion in quadratic orders, $2$-torsion in cubic orders, and $2$-torsion in orders arising from odd degree binary forms, work of Bhargava-Varma and Ho-Shankar-Varma shows that the corresponding difference averaged over the full family of orders is equal to $1$. This shows that monogenicity has an increasing effect not only on the class group of fields, but also on the class group of orders. Our method gives a dual proof of a result of Bhargava-Hanke-Shankar in the cubic case, reveals an interesting structure underpinning the deviation of these averages from those expected for the full families, and extends to the case of monogenised rings and fields of even degree at least $4$.

研究の動機と目的

• 単生成体の奇数次数における非自明な2-torsion元の類群内での平均値を理解すること。
• 単生成性が類群および狭類群における2-torsionの分布に与える影響を調査すること。
• 固定された符号数 $(r_1, r_2)$ を持つ単生成順序において、$ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ の平均値を計算または評価すること。

提案手法

• 代数群の整数軌道を用いて、単生成体および単生成順序をパラメータ化するウッドの軌道パラメータ化を適用する。
• 軌道パラメータ化を用いて、奇数次数の単生成体の類群内における2-torsion元の平均値を計算する。
• 順序における2-torsionイデアルの数とその類群の大きさとの間の関係を、差 $ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ を通じて確立する。
• 固定された符号数 $(r_1, r_2)$ を持つ単生成順序において、この差の平均値に対する無条件での評価を導出し、それが $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $ に等しいことを示す。
• 偶数次数 $ \geq 4 $ の単生成環および単生成体へと手法を拡張し、コーエン＝レングストラ予想からの乖離における構造的パターンを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、固定された奇数次数の単生成体の類群における非自明な2-torsion元の平均値が、コーエン＝レングストラ＝マルティネッティ＝マーレの予測値の2倍に達するのか？
• RQ2 単生成性は、順序の類群および狭類群における2-torsion部分群の大きさにどのように系統的に影響を与えるのか？
• RQ3 符号数 $(r_1, r_2)$ を持つ単生成順序において、$ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ の正確な平均値は何か？
• RQ4 偶数次数 $ \geq 4 $ の単生成環において、コーエン＝レングストラ予想からの乖離はどの程度持続するのか？
• RQ5 ウッドの軌道パラメータ化は、単生成設定における類群統計の計算をどのように可能にするのか？

主な発見

• 任意の固定された奇数次数における単生成体の類群内における非自明な2-torsion元の平均値は、コーエン＝レングストラ＝マルティネッティ＝マーレのヒューリスティックが予測する値の正確に2倍である。
• 単生成性は、類群および狭類群の両方における非自明な2-torsion元の平均値を増加させ、その影響は体の次数が高くなるほど顕著になる。
• 符号数 $(r_1, r_2)$ を持つ単生成順序において、$ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ の平均値は正確に $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $ に等しく、これは無条件の結果である。
• 本手法により、バルガヴァ＝ハンケ＝シャンカーの立方体の場合の結果が二重の証明として得られ、観察された乖離の背後にあるより深い構造的要因が明らかになった。
• この枠組みは、偶数次数 $ \geq 4 $ の単生成環および単生成体へと拡張可能であり、コーエン＝レングストラ予想からの乖離の背後には普遍的なメカニズムがある可能性を示唆している。
• 全家族の期待される2-torsion統計からの乖離はランダムではなく、単生成性と系統的に関連しており、平均差において一貫した加法的シフト $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $ が観察された。