[論文レビュー] Testable Bounded Degree Graph Properties Are Random Order Streamable

Morteza Monemizadeh, S. Muthukrishnan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有界次数グラフの隣接リストモデルにおいて定数個のクエリでテスト可能な任意の性質が、ランダムオーダーのグラフストリームにおいて1パスで定数空間でテスト可能であることを確立している。主な洞察は、ランダム頂点サンプリングとエッジストリーム処理を用いた局所的近傍分布の推定であり、これにより最大マッチングサイズの加法的誤差 $\epsilon n$ を伴う近似といった、部分線形時間アルゴリズムの定数空間シミュレーションが可能になる。これは、敵対的オーダーとランダムオーダーのストリーミングモデルの間の長年のギャップを解消し、多くの部分線形時間アルゴリズムがランダムオーダーの仮定のもとでストリーミング可能であることを示している。

ABSTRACT

We study which property testing and sublinear time algorithms can be transformed into graph streaming algorithms for random order streams. Our main result is that for bounded degree graphs, any property that is constant-query testable in the adjacency list model can be tested with constant space in a single-pass in random order streams. Our result is obtained by estimating the distribution of local neighborhoods of the vertices on a random order graph stream using constant space. We then show that our approach can also be applied to constant time approximation algorithms for bounded degree graphs in the adjacency list model: As an example, we obtain a constant-space single-pass random order streaming algorithms for approximating the size of a maximum matching with additive error $εn$ ($n$ is the number of nodes). Our result establishes for the first time that a large class of sublinear algorithms can be simulated in random order streams, while $Ω(n)$ space is needed for many graph streaming problems for adversarial orders.

研究の動機と目的

• 有界次数グラフにおける定数クエリの性質テストと部分線形時間近似アルゴリズムが、ランダムオーダーのグラフストリーミングモデルでシミュレート可能かどうかを明らかにすること。
• 多くの問題に対して通常 $\Omega(n)$ のメモリが必要となる敵対的オーダーとランダムオーダーのストリーミングモデルの間のギャップを埋めること。
• 有界次数グラフにおける局所的近傍分布が、ランダムオーダーストリームにおいて定数空間で推定可能であることを示すこと。これにより、部分線形時間アルゴリズムのシミュレーションが可能になる。
• 最大マッチングサイズの近似といった、基本的なグラフ最適化問題が、ランダムオーダーストリームにおいて定数空間で解けることを示すこと。

提案手法

• ランダムオーダーのエッジストリームを1パスで走査し、定数空間でランダムに抽出された頂点の周囲の $k$-ディスク（半径 $k$ の局所的近傍）の分布を推定する。
• ランダムオーダーの仮定を活用し、サンプルされた $k$-ディスクが互いに素である確率を高め、近傍タイプの頻度を正確に推定できるようにする。
• 推定された $k$-ディスクタイプの分布を用いて、隣接リストモデル向けに設計された任意の定数クエリの性質テストや定数時間近似アルゴリズムをシミュレートする。
• 最大マッチングサイズの近似に応用するため、局所的にグリーディアルゴリズムをシミュレートするオラクル（局所的グラフ構造にのみ依存）を用い、加法的誤差 $\epsilon n$ を伴う近似を実現する。
• 確率的集中と $\delta$-近い分布および $\psi$-関数を用いた組合せ的議論により、近傍分布推定の誤差が有界であることを証明する。
• 推定誤差が小さいことを利用し、定数空間で、性質を満たすグラフと $\varepsilon$-遠く離れたグラフを定数確率で正しく区別できるストリーミングアルゴリズムが成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数グラフにおける定数クエリの性質テストアルゴリズムは、定数メモリでランダムオーダーストリーミングモデルに実装可能か？
• RQ2 ランダムオーダーの仮定により、敵対的オーダーでは $\Omega(n)$ のメモリが必要となる問題に対しても、定数空間のストリーミングアルゴリズムが可能になるか？
• RQ3 有界次数グラフにおける局所的近傍の分布は、1パスのランダムオーダーストリームで定数空間で推定可能か？
• RQ4 最大マッチングなどの定数時間近似アルゴリズム（例：最大マッチング）を、定数メモリのみでランダムオーダーストリーミングモデルでシミュレート可能か？
• RQ5 部分線形時間アルゴリズムのクエリ複雑度と、ランダムオーダーのグラフストリームにおけるその空間複雑度の関係は何か？

主な発見

• 有界次数グラフの隣接リストモデルで定数個のクエリでテスト可能な任意の性質は、ランダムオーダーストリームにおいて1パスで定数空間でテスト可能である。
• 有界次数グラフにおける $k$-ディスクの分布は、ランダムオーダーストリームで定数空間で推定可能であり、これにより部分線形時間アルゴリズムのシミュレーションが可能になる。
• 最大マッチングサイズの近似に加法的誤差 $\epsilon n$ を伴う、定数空間・1パスのランダムオーダーストリーミングアルゴリズムが提示された。ここで $n$ は頂点数である。
• このアプローチは、局所的近傍のサンプリングと推定に依存するため、最大マッチングサイズに対して定数の近似保証を高確率で達成する。
• 敵対的オーダーとランダムオーダーのストリーミングモデルの間で強い分離が確立され、前者では多くの問題に対して $\Omega(n)$ のメモリが必要であるが、後者では不要である。
• このフレームワークは、定数クエリまたは定数時間近似アルゴリズムを備える有界次数グラフの他の最適化問題（例：最小頂点被覆、最小スパニングツリー重み）にも一般化可能である。