[論文レビュー] Testing Consumer Rationality using Perfect Graphs and Oriented Discs

Shant Boodaghians, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、消費者の選好が合理的になるようにするために必要な最小データ点数を測定することによって、消費者の合理性をテストする計算的複雑性を確立する。2財市場では完全グラフと完全グラフ上の頂点被覆を用いて、問題が多項式時間で解けることを証明するが、3財市場では平面的3-SATへの還元を用いた方向付き円板図の手法により、NP完全性を示す。

ABSTRACT

Given a consumer data-set, the axioms of revealed preference proffer a binary test for rational behaviour. A natural (non-binary) measure of the degree of rationality exhibited by the consumer is the minimum number of data points whose removal induces a rationalisable data-set.We study the computational complexity of the resultant consumer rationality problem in this paper. This problem is, in the worst case, equivalent (in terms of approximation) to the directed feedback vertex set problem. Our main result is to obtain an exact threshold on the number of commodities that separates easy cases and hard cases. Specifically, for two-commodity markets the consumer rationality problem is polynomial time solvable; we prove this via a reduction to the vertex cover problem on perfect graphs. For three-commodity markets, however, the problem is NP-complete; we prove thisusing a reduction from planar 3-SAT that is based upon oriented-disc drawings.

研究の動機と目的

• 消費者の行動を合理的化するために削除が必要な最小データ点数に基づく、非二値の消費者の合理性の測定法の開発。
• 異なる財の数において、この合理性テスト問題の計算的複雑性を特定すること。
• 問題が扱いやすい（tractable）から不味い（intractable）に移行する正確な閾値を同定すること。
• 顕在的選好理論と、フィードバック頂点集合や頂点被覆といった既知のグラフ理論的問題との間の関係を確立すること。
• 方向付き円板グラフを用いた新規な還元フレームワークを提供し、3財市場におけるNP完全性を証明すること。

提案手法

• 予算制約に基づく顕在的選好を示す矢印で表された有向顕在的選好グラフとして消費者データを表現する。
• 消費者の合理性問題を、顕在的選好グラフにおける最小有向フィードバック頂点集合（DFVS）の探索問題に還元する。
• 2財市場では、問題を完全グラフ上の頂点被覆にマッピングし、完全グラフでは頂点被覆が多項式時間で解けるという事実を活用する。
• 3財市場では、平面的3-SATインスタンスの方向付き円板図を構築し、問題を、二重辺（digons）と有向性のある補助矢印を持つ有向グラフに埋め込む。
• 方向付き円板グラフにおけるすべてのサイクルは、二重辺に起因するため、サイクルをすべて除去するためのフィードバック頂点集合は、元の平面的グラフにおける頂点被覆に対応する。
• 変数と節のガジェットに基づく構築を行い、3-SATインスタンスを、サイクルが平面的二部グラフにおける辺カバーに紐付く有向グラフに埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 削除によって合理的化が達成される最小データ点数を測定した場合、消費者の合理性問題の計算的複雑性は何か？
• RQ2 消費者の合理性問題が多項式時間で解ける問題からNP完全問題に移行する財の数は何か？
• RQ3 顕在的選好グラフのサイクル構造を用いて、頂点被覆やフィードバック頂点集合といった既知のNP困難問題に還元できるか？
• RQ4 平面的3-SATインスタンスを、サイクル検出が充足可能性に対応する有向グラフとして方向付き円板図で表現することは可能か？
• RQ5 完全グラフ理論を活用することで、低次元市場（例：2財）における合理性問題を効率的に解けるか？

主な発見

• 2財市場では、問題が完全グラフ上の頂点被覆に還元されるため、多項式時間で解ける。
• 3財市場では、方向付き円板グラフの構築を用いた平面的3-SATへの還元により、問題がNP完全であることが証明された。
• 還元は、すべてのサイクルが二重辺に起因する方向付き円板グラフを構築し、すべてのサイクルを除去するには、元の平面的グラフにおける頂点被覆を求める必要がある。
• 方向付き円板グラフにおける最小フィードバック頂点集合は、平面的3-SATインスタンスの関連グラフにおける頂点被覆に等しい。
• 補助矢印（二重辺に含まれないもの）は常に有向無閉路部分グラフを形成するため、すべてのサイクルを除去するには二重辺のみをカバーすれば十分である。
• 扱いやすいと不味いに移行する閾値は正確に2財である：2財では多項式時間で解けるが、3財ではNP完全である。