[論文レビュー] Testing equality of spectral density operators for functional linear processes

Anne Leucht, Efstathios Paparoditis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、すべての周波数におけるヒルバート＝シュミット距離を測定することで、2つの独立な関数的線形過程間のスペクトル密度作用素の等価性を評価する関数的$L^2$型検定を提案する。大規模漸近正規近似よりも優れた性能を示す周波数ドメインブートストラップ法を導入し、漸近的妥当性と一致性を証明している。シミュレーションにより、小さな標本でも良好なサイズとパワーを示している。

ABSTRACT

The problem of testing equality of the entire second order structure of two independent functional linear processes is considered. A fully functional $L^2$-type test is developed which evaluates, over all frequencies, the Hilbert-Schmidt distance between the estimated spectral density operators of the two processes. The asymptotic behavior of the test statistic is investigated and its limiting distribution under the null hypothesis is derived. Furthermore, a novel frequency domain bootstrap method is developed which approximates more accurately the distribution of the test statistic under the null than the large sample Gaussian approximation obtained. Asymptotic validity of the bootstrap procedure is established and consistency of the bootstrap-based test under the alternative is proved. Numerical simulations show that, even for small samples, the bootstrap-based test has very good size and power behavior. An application to meteorological functional time series is also presented.

研究の動機と目的

• 2つの独立な関数的時系列間の、完全な2次モーメント構造（スペクトル密度作用素として表現）の等価性を検定するという課題に取り組む。
• すべての周波数における推定スペクトル密度作用素間の$L^2$型距離に基づく検定統計量を構築する。
• 特に小さな標本においても、検定統計量の帰無分布に対する大規模漸近正規近似を改善する。
• 真の帰無分布への収束を保証する、新しい周波数ドメインブートストラップ手順の漸近的妥当性を確立する。
• 代替仮説の下でブートストラップに基づく検定が一貫していることを証明し、真の差異を確実に検出できるようにする。

提案手法

• 単位周波数区間における推定スペクトル密度作用素の差のヒルバート＝シュミットノルムの積分として、関数的$L^2$型検定統計量を定義する。
• 帰無仮説（スペクトル密度作用素が等しい）の下での検定統計量の漸近的分布を導出する。
• 周期ogram作用素のブロックを再抽出することで、漸近正規性よりも正確に帰無分布を近似する周波数ドメインブートストラップ法を提案する。
• 帰無仮説の下でブートストラップ手順の漸近的妥当性を確立し、標本サイズが増加するにつれて真の帰無分布に分布収束することを保証する。
• ブートストラップを用いて臨界値とp値を計算し、サイズ制御された検定を実現し、有限標本における性能を向上させる。
• 気象学的関数的時系列データに検定を適用し、実用的意義と頑健性を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの独立な関数的線形過程のスペクトル密度作用素のすべての周波数における差を、完全な関数的$L^2$型検定が検出できるか？
• RQ2 小さな標本におけるブートストラップに基づく検定の性能は、大規模漸近正規近似と比べてどうか？
• RQ3 等しいスペクトル密度作用素の帰無仮説の下で、提案された周波数ドメインブートストラップは漸近的に妥当か？
• RQ4 代替仮説の下で、ブートストラップに基づく検定は一貫性を保っているか？ すなわち、真の差異を検出する力があるか？
• RQ5 本手法は、気象データのような実世界の関数的時系列に効果的に適用可能か？

主な発見

• 提案された検定統計量は、等しいスペクトル密度作用素の帰無仮説の下で、既知の極限分布に分布収束する。
• 周波数ドメインブートストラップ法は、特に小さな標本において、大規模漸近正規近似よりも真の帰無分布をより正確に近似する。
• ブートストラップ手順は漸近的に妥当であり、標本サイズが増加するにつれて、真の帰無分布に分布収束する。
• ブートストラップに基づく検定は代替仮説の下で一貫しており、スペクトル密度作用素が異なる場合、標本サイズが大きくなるにつれて検出力が1に近づく。
• 数値シミュレーションにより、ブートストラップに基づく検定は、小さな標本サイズでも適切なサイズを維持し、高いパワーを示すことが明らかになった。
• 気象学的関数的時系列への応用により、本手法の実用的有用性と現実世界の状況における頑健性が確認された。