[論文レビュー] Testing Polynomials for Vanishing on Cartesian Products of Planar Point Sets: Collinearity Testing and Related Problems

Boris Aronov, Esther Ezra+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Polynomial and algebraic computation被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的意思決定木モデルにおいて、3つの平面的点集合が多項式方程式を満たす三つ組を含むかどうかをテストするための部分二次的アルゴリズムを提示する。2つの集合が曲線上にあり、残り1つが任意の集合である場合の共線性問題に対して、O(n^{28/15+ε})の符号テストを達成し、制限された構成下でのこの3SUM-hard問題において画期的な進展をもたらす。

ABSTRACT

We present subquadratic algorithms, in the algebraic decision-tree model of computation, for detecting whether there exists a triple of points, belonging to three respective sets $A$, $B$, and $C$ of points in the plane, that satisfy a certain polynomial equation or two equations. The best known instance of such a problem is testing for the existence of a collinear triple of points in $A imes B imes C$, a classical 3SUM-hard problem that has so far defied any attempt to obtain a subquadratic solution, whether in the (uniform) real RAM model, or in the algebraic decision-tree model. While we are still unable to solve this problem, in full generality, in subquadratic time, we obtain such a solution, in the algebraic decision-tree model, that uses only roughly $O(n^{28/15})$ constant-degree polynomial sign tests, for the special case where two of the sets lie on two respective one-dimensional curves and the third is placed arbitrarily in the plane. Our technique is fairly general, and applies to many other problems where we seek a triple that satisfies a single polynomial equation, e.g., determining whether $A imes B imes C$ contains a triple spanning a unit-area triangle. This result extends recent work by Barba \etal~(2017) and by Chan (2018), where all three sets $A$,~$B$, and~$C$ are assumed to be one-dimensional. As a second application of our technique, we again have three $n$-point sets $A$, $B$, and $C$ in the plane, and we want to determine whether there exists a triple $(a,b,c) \in A imes B imes C$ that simultaneously satisfies two independent real polynomial equations. For example, this is the setup when testing for collinearity in the complex plane, when each of the sets $A$, $B$, $C$ lies on some constant-degree algebraic curve. We show that problems of this kind can be solved with roughly $O(n^{24/13})$ constant-degree polynomial sign tests.

研究の動機と目的

• 平面における部分二次的共線性テストという長年の未解決問題に取り組むこと。これは3SUM-hard問題である。
• 2つの集合が1次元の曲線上にある場合にまで、デカルト積上での多項式の消失に関する先行研究を拡張すること。
• 代数的意思決定木モデルにおいて、1つまたは2つの多項式方程式を満たす三つ組を検出するための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 高次元の構成を平面的ケースに簡略化するための確率的還元技術を提供すること。
• 幾何的制約下での単一および二重多項式の消失問題に対して、改善されたバウンドを達成すること。

提案手法

• 次元をdから2に削減するために、ランダムな超平面への確率的射影を用い、共線性を保存するとともに点集合を分離する。
• レムマ6.1を再帰的に適用し、d×(d−1)×(d−1)の構成を2×1×1の平面的インスタンスに還元する。
• 各テストが入力座標における定数次数の多項式の符号をチェックする代数的意思決定木モデルを利用する。
• 2つの独立した多項式制約があると、1つの制約よりもより効率的な解法が可能であることに着目する。
• インシデント幾何学および多項式分割の結果を用いて、必要な符号テストの数をバウンドする。
• 一般のランダムな超平面を用いることで、射影が共線性を保存し、集合を確率1で分離することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3SUM-hardな共線性テスト問題は、代数的意思決定木モデルにおいて部分二次的時間で解けるか？
• RQ2 1つの多項式方程式を満たす三つ組を検出するために、必要な定数次数の多項式符号テストの最小数は何か？
• RQ3 2つの独立した多項式制約がある場合、消失する三つ組の検出の複雑さはどのように変化するか？
• RQ4 2つの集合が曲線上にあるといった幾何的制約があると、そうでない場合に比べて部分二次的アルゴリズムが可能になるか？
• RQ5 高次元の点集合の構成を、問題の構造を保ったまま平面的ケースにどの程度まで還元できるか？

主な発見

• 2つのn点集合が定数次数の代数的曲線上にあり、残り1つが任意の集合である場合、本稿では代数的意思決定木モデルにおいてO(n^{28/15+ε})の符号テストを達成する。
• 一般に3SUM-hardであるにもかかわらず、このような幾何的制約下で、共線性テスト問題に対する部分二次的解法が初めて得られた。
• 2つの独立した多項式方程式を含む問題に対しては、O(n^{24/13+ε})の符号テストのバウンドを達成し、二重制約がより効率的な解法を可能にすることが示された。
• ランダム射影による還元技術は、共線性を保存し、確率1で集合を分離するため、再帰的な平面的インスタンスへの簡略化を可能にする。
• バーバらの研究およびチャンの研究では3つの集合すべてが1次元である必要があったが、本稿では1つの集合が任意である場合を許容することで、先行研究を拡張した。
• 次元dが増加するとバウンドが悪化するが、固定されたdに対しては常に部分二次的のままであるため、今後の高次元拡張の可能性を示唆している。