[論文レビュー] Tetrahedron in F-theory Compactification

El Hassan Saidi|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素四面体的表面 $\tau_m$ の blown-up を用いた、Calabi-Yau 4-fold 上の F-theory コンpactification のための新しい幾何的背景として、族をなすトーリック表面を導入する。トーリック幾何学を活用することで、四面体の面、辺、頂点が自然に $U(1) \times U(1)$-荷電のカイラルフェルミオンおよびヤコビ型カップリングを局在化させることを示し、頂点において $SU(7)$ や $SO(12)$、$E_6$ のような拡張されたゲージ対称性を持つ、$\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーを備えた GUT-類似クイバーゲージ理論の設計が可能になる。

ABSTRACT

Complex tetrahedral surface $\mathcal{T}$ is a non planar projective surface that is generated by four intersecting complex projective planes $CP^{2}$. In this paper, we study the family $\{\mathcal{T}_{m}\} $ of blow ups of $\mathcal{T}$ and exhibit the link of these $\mathcal{T}_{m}$s with the set of del Pezzo surfaces $dP_{n}$ obtained by blowing up n isolated points in the $CP^{2}$. The $\mathcal{T}_{m}$s are toric surfaces exhibiting a $U(1) imes U(1) $ symmetry that may be used to engineer gauge symmetry enhancements in the Beasley-Heckman-Vafa theory. The blown ups of the tetrahedron have toric graphs with faces, edges and vertices where may localize respectively fields in adjoint representations, chiral matter and Yukawa tri-fields couplings needed for the engineering of F- theory GUT models building.

研究の動機と目的

• F-theory コンパクト化のための新しいベース幾何として、非平面的複素表面、特に四面体的表面 $\mathcal{T}$ 及びその blown-up $\mathcal{T}_m$ を、Calabi-Yau 4-fold 上で探求すること。
• blown-up 操作を通じて、四面体的族 $\mathcal{T}_m$ と del Pezzo 表面 $dP_n$ の幾何的関係を確立すること。
• トーリック構造が、$\mathcal{T}_m$ 上で $G_r \times U(1)\times U(1)$ のゲージ対称性の拡張が面で、$G_{r+2}$ の非可換ゲージ対称性に頂点で強化されることを実現する仕組みを示すこと。
• 4次元 $\mathcal{N}=1$ 有効場理論における、辺でのカイラルフェルミオンの局在化および頂点でのヤコビカップリングの局在化を可能にする幾何的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 四面体的表面 $\mathcal{T}_0$ を、4つの交差する $\mathbb{CP}^2$ 平面から成る非平面的複素表面として構築し、その特異点をトーリック幾何学を用いて記述する。
• $\mathcal{T}_0$ 上の blown-up $\mathcal{T}_m$ を体系的に行い、得られた表面のトーリックグラフおよびサイクルホモロジーを分析することで、ゲージ対称性の強化を同定する。
• トーリックファイブレーション $T^2 \to \mathcal{T}_m$ を用いて、2次元サイクルの収縮を、ゲージ対称性の強化の源として解釈する：面では $U(1)\times U(1)$、辺では $U(1)$、頂点ではアーベル因子なし。
• カイラルフェルミオンは、$\Sigma_{(ab)}$ で表される辺上に局在化し、強化されたゲージ群の双ファンドアメンタル表現で変換する。一方、ヤコビカップリングは頂点 $P_{(abc)}$ に局在化する。
• 有効なスーパーポテンシャル $W_{\text{Yuk}} = \int d^4x d^2\theta \sum_{a<b<c} \frac{\lambda_{abc}}{3} \Phi_{R_a}^a \Phi_{R_b}^b \Phi_{R_c}^c$ が導出され、カップリング定数 $\lambda_{abc}$ は3場の相互作用の強度を符号化する。
• このフレームワークは $SU(5)$ GUT モデルに適用可能であり、$G_r = SU(5)$ の $\mathcal{T}_m$ は、$\mathbf{5}$、$\mathbf{5}^*$、$\mathbf{10}$ および異常な場を含む表現で物質を支持する。ヤコビカップリングには $\mathbf{5}^* \times \mathbf{5}^* \times \mathbf{10}$ のような項が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四面体的表面 $\mathcal{T}_0$ の blown-up は、よく知られた del Pezzo 表面 $dP_n$ とどのように関係しているか？
• RQ2 四面体的表面 $\mathcal{T}_m$ のトーリック幾何学は、F-theory GUT モデル構築と整合的である形で、カイラルフェルミオンおよびヤコビカップリングを局在化できるか？
• RQ3 四面体の面、辺、頂点で観察されるゲージ対称性の強化は、4次元有効理論とどのように関係しているか？
• RQ4 四面体的ベース $\mathcal{T}_m$ を用いて、現実的または異常な物質内容を持つ $\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーを備えたクイバーゲージ理論をどのように設計できるか？
• RQ5 4次元有効理論におけるカイラル超場およびヤコビ項の具体的な表現形式とカップリング構造は何か？

主な発見

• 四面体的表面 $\mathcal{T}_0$ 及びその blown-up $\mathcal{T}_m$ は、トーリック表面として特徴づけられ、面では $U(1) \times U(1)$、辺では $U(1)$、頂点では非可換ゲージ対称性が強化される。
• $\mathcal{T}_0$ の blown-up により得られる表面族 $\mathcal{T}_m$ は、del Pezzo 表面 $dP_n$ と幾何的に関連しており、blown-up のプロセスが主要なトポロジー的および対称性的構造を保存する。
• ゲージ対称性は、面では $G_r \times U(1) \times U(1)$、辺では $G_{r+1} \times U(1)$、頂点では $G_{r+2}$ に強化され、$G_r = SU(5)$ の場合、$SU(7)$、$SO(12)$、$E_6$ などの例がある。
• カイラルフェルミオン場 $\Phi_{R_a}^a$ は四面体の12本の辺上に局在化し、$SU(5) \times U(1) \times U(1)$ の下で $\mathbf{5}$、$\mathbf{5}^*$、$\mathbf{10}$ および異常場の表現で変換する。
• ヤコビカップリングは8つの頂点に局在化し、$\mathbf{5}^* \times \mathbf{5}^* \times \mathbf{10}$ や $\mathbf{5}^* \times \mathbf{5} \times \mathbf{1}$ のような項を持つ。ここで $\mathbf{1}$ は右手型ニュートリノに類似した状態を表す。
• このフレームワークにより、異常物質を含む $\mathcal{N}=1$ スーパーシンメトリーを備えた $SU(5)$ クイバーゲージモデルの構築が可能となり、8頂点および12頂点を有する2種類の異なるクイバー図が図示されている。