[論文レビュー] Th\\'eorie $L^p$ pour l'\\'equation de Cauchy-Riemann

Christine Laurent‐Thiébaut|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素解析的多様体上の $\bar\partial$-作用素について $L^p$-理論を確立し、コンパクトな台を持つ $L^p$-閉形式が $W^{1,p}$-空間内で $\bar\partial$-完全であることを証明する。これは古典的な $L^2$ 結果を拡張するものである。$L^p$ ドルベオールコホロジーの双対性理論を構築し、$W^{1-1/p,p}$-正則性をもつCR関数に対するハートゴス＝ボッハナー型の $L^p$-拡張定理を、コンパクトネス推定と $L^p$-空間内の双対性を用いて証明する。

ABSTRACT

In this paper we propose a systematic study of the Cauchy-Riemann operator in the $L^p$-setting in complex manifolds. We first consider $L^p_{loc}$-theory and then we develop an $L^p$ Andreotti-Grauert theory. Finally we consider Serre duality and its applications to the solvability of the Cauchy-Riemann equation with exact support in $L^p$-spaces.

研究の動機と目的

• 複素解析的多様体上で $1 < p < \infty$ の $L^p$-理論を体系的に確立すること。
• ホルマンとノイマンの古典的な $L^2$-理論を、双対性 $L^p \to L^{p'}$ を活用して $L^p$-空間へ拡張すること。
• コンパクトな台を持つ $L^p$-閉形式が $W^{1,p}$-空間内で $\bar\partial$-完全である問題を解明すること。
• 正則性 $W^{1-1/p,p}$ をもつCR関数に対するハートゴス＝ボッハナー＝セベリの拡張定理の $L^p$-版を証明すること。

提案手法

• 複素多様体上の $\bar\partial$-閉形式を、$L^p$-コホロジーと $W^{1,p}$-正則性を用いて研究する。
• ベイズ＝グリーナー＝スターマンのコンパクトネス推定を応用し、$W^{1,p}$-空間内での解を制御する。
• 抽象的双対性定理を用いて、$L^p$-複体と $L^{p'}$-複体の間の双対性を確立する。
• アンドレオッティ＝グラウエルト理論を $L^p$-設定に適用し、コホモロジー的消滅結果を導出する。
• $L^p$-空間内でのセールの双対性を用いて、コンパクトな台を持つ $\bar\partial$-問題の可解性を特徴付ける。
• シュタイン多様体におけるハートゴス現象を応用し、コホモロジー群 $H^{r,n}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ と $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E)$ の関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上の $L^p$-閉 $(r,q)$-形式が、コンパクトな台を持つ $W^{1,p}$-空間内で $\bar\partial$-完全であるための条件は何か？
• RQ2 $L^p$-双対性は、$L^p$-複体とその双対 $L^{p'}$-複体のコホモロジーをどのように関係付けるか？
• RQ3 正則性 $W^{1-1/p,p}$ をもつCR関数について、ハートゴス＝ボッハナー拡張定理を $L^p$-ソボレフ正則性へ一般化できるか？
• RQ4 幾何学的およびコホモロジー的条件として、$L^p$-空間内でコンパクトな台を持つ $\bar\partial$-問題が可解であるための条件は何か？
• RQ5 $H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E)$ の消滅は、$H^{r,n}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ の分離性とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $f \in (L^p_{\text{loc}})^{r,q}(X,E)$ で $\bar\partial f = 0$ かつ $q \geq 1$ を満たすものに対して、$\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(f)$ を満たす $g \in (L^p_{\text{loc}})^{r,q-1}(X,E)$ が存在し、$f - \bar\partial g \in \mathcal{E}^{r,q}(X,E)$ となる。
• もし $f = \bar\partial S$ が、あるカレント $S \in \mathcal{D}'^{r,q-1}(X,E)$ に対して成り立つならば、$\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(S)$ を満たす $g \in (W^{1,p}_{\text{loc}})^{r,q-1}(X,E)$ が存在し、$f = \bar\partial g$ となる。
• コンパクトな台を持つ $f \in (L^p)^{r,q}(X,E)$ で $\bar\partial f = 0$ を満たすものに対して、$\operatorname{supp}(g) \subset \operatorname{supp}(f)$ を満たす $g \in (W^{1,p})^{r,q-1}(X,E)$ が存在し、$f = \bar\partial g$ となる。
• $L^p$-コホモロジー $H^{r,q}_{c,L^p}(X\setminus\overline{D},E)$ が分離されるための必要十分条件は、シュタイン多様体 $X$ で $X\setminus D$ が連結であるとき、$H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E) = 0$ であることである。
• $L^p$-ハートゴス拡張定理が成り立つ：$X$ がシュタインで $n \geq 2$ ならば、領域の境界上で $W^{1-1/p,p}$-正則性をもつCR関数は、内部へ正則に拡張可能である。
• 双対性より、$H^{r,n-1}_{W^{1,p}}(D,E) = 0$ または $H^{n-r,1}_{L^{p'}}(X\setminus\overline{D},E^*)$ が分離されない、のいずれかが成り立つ。