[論文レビュー] Théorèmes de de Finetti, limites de champ moyen et condensation de Bose-Einstein

Nicolas Rougerie|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 121被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、対称な量子状態とフォック空間の局在化の構造に基づき、デ・フィネッティの定理を用いて、量子多体系における平均場近似を厳密に導出する数学的枠組みを提示する。これにより、ボーズ＝アインシュタイン凝縮の巨視的現象と、Nが非常に大きい極限における粒子の漸近的独立性との間の関係が確立される。主な貢献は、第一原理から有効な非線形シュレーディンガー方程式およびハートリー型汎関数を体系的に導出することである。

ABSTRACT

These lecture notes treat the mean-field approximation for equilibrium states of N body systems in classical and quantum statistical mechanics. A general strategy to justify effective models based on assumptions of statistical independence of the particles is in presented in detail. The main tools are a structure theorems of de Finetti that describe large N limits of states accessible to the systems in question, exploiting the indistinguishablity of particles. The focus is on quantum aspects, particularly the mean-field approximation for the ground state of a large system of bosons, in connection with Bose-Einstein condensation: structure of reduced density matrices of a large bosonic system, localization methods in Fock space, derivation of Hartree and non-linear Schrödinger effective energy functionals.

研究の動機と目的

• 巨大な数の相互作用を有するボソン系における量子統計力学における平均場近似の数学的厳密な正当化を提供すること。
• 1つの量子状態への巨視的占有（ボーズ＝アインシュタイン凝縮）と、対称N体量子状態の漸近的構造との間の関係を確立すること。
• デ・フィネッティ型の定理を用いて、もとの多体ハミルトニアンから有効な非線形汎関数（ハートリー方程式やグロス＝ピタエフケィ方程式）を導出すること。
• フォック空間における量子状態の局在化を可能にする手法を開発し、縮約密度行列の収束結果を得ること。
• 基礎的な量子力学と、超低温量子ガス実験で用いられる有効モデルとの間の溝を埋めること。

提案手法

• N → ∞ の極限における対称N体量子状態の弱極限を特徴付けるために、古典的および量子的デ・フィネッティの定理を用いる。
• ボソン系における強および弱デ・フィネッティの定理を応用し、縮約密度行列の極限構造を記述する。
• 多体状態が粒子数が大きい極限において積状態に収束することを制御するため、フォック空間における局在化技術を用いる。
• キリベラの公式とアンチ・ウィック量子化を用いて、位相空間上の古典的測度とフォック空間内の量子状態との関係を確立する。
• ベレジン＝ライブの不等式とトレースクラスの推定を用いて、平均場近似における誤差の定量的評価を得る。
• 変分法および弱収束の議論を用いて、ハートリー汎関数とグロス＝ピタエフケィ汎関数が、多体エネルギー汎関数の有効極限として厳密に導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称状態に関する構造的定理を用いて、量子多体系における平均場近似をどのように数学的に厳密に正当化できるか。
• RQ2 ボーズ＝アインシュタイン凝縮とN体密度行列の漸近的因子分解との間の正確な関係は何か。
• RQ3 有限次元および無限次元のフォック空間におけるデ・フィネッティの定理は、どのように有効な非線形シュレーディンガー方程式の導出を可能にするか。
• RQ4 低温における多体量子状態から平均場極限への収束において、どのような定量的誤差推定が得られるか。
• RQ5 ハートリーまたはグロス＝ピタエフケィのような有効汎関数は、正確にどの意味で、正確な多体ハミルトニアンの熱力学的極限として現れるか。

主な発見

• 弱デ・フィネッティの定理により、任意の対称N体密度行列の列が弱収束する先が、積状態の混合状態であることが保証され、これが平均場的挙動の背後にある根拠となる。
• 束縛状態のない系では、弱デ・フィネッティの定理により、縮約密度行列の極限が単一粒子密度演算子によって完全に特徴付けられる。
• 強デ・フィネッティの定理は、閉じた系に適用可能であり、トレースノルムでの収束を保証するため、エネルギーおよび粒子数における定量的誤差推定が可能になる。
• ハートリー汎関数は、適切な対称性および正則性の仮定の下で、多体エネルギー汎関数のΓ極限として厳密に正当化される。
• グロス＝ピタエフケィ方程式は、平均場極限における有効な力学として導出され、トレースクラスおよびベレジン＝ライブ型の不等式を用いて収束速度が定量的に評価される。
• フォック空間における状態の局在化により、凝縮状態内の粒子数の制御が可能となり、多体量子力学から非線形シュレーディンガー方程式が導出される。