[論文レビュー] The 3-cuspidal quartic and braid monodromy of degree 4 coverings

Fabrizio Catanese, Bronisław Wajnryb|ArXiv.org|Nov 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の $(\mathbb{Z}/2)^2$-ガロア被覆から変形された4次被覆の局所ブレードモノドロミー因子分解を決定し、変形された分岐曲線が3個の尖点をもつ四次曲線であることを示している。このような曲線がノード型三次曲線の双対として射影的に一意的であることを利用し、3個の実尖点と2本の虚二次接線をもつ実モデルを用いてブレードモノドロミーを計算した。その結果、判別式表面が $\mathbb{P}^3$ 内のねじれ三次曲線の接線包曲面として特定された。この表面は、ねじれ三次曲線の双対であり、一般三次方程式の判別式としても同定された。

ABSTRACT

We study the discriminant of a degree 4 extension given by a deformed bidouble cover, i.e., by equations z^2= u + a w, w^2= v + bz. We first show that the discriminant surface is a quartic which is cuspidal on a twisted cubic, i.e.,is the discriminant of the general equation of degree 3. We then take a(u,v), b(u,v) and get a 3-cuspidal affine quartic curve whose braid monodromy we compute. This calculation of the local braid monodromy is a step towards the determination of global braid monodromies, e.g. for the (a,b,c) surfaces previously considered by the authors. In the revision we fill a gap (noticed by the referee) in the proof of the classical theorem that any quartic surface which has the twisted cubic as cuspidal curve is its tangential developable, and we changed a base point in order to make a picture correct.

研究の動機と目的

• 変形された $(\mathbb{Z}/2)^2$-ガロア被覆 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の局所ブレードモノドロミー因子分解を決定すること。
• シンプレクティックおよび代数的表面の微分位相幾何学的文脈において、変形された分岐曲線の幾何的性質を理解すること。
• このような変形から生じる判別式表面の位相的構造を解明し、特に特異点と射影的不変量を特定すること。
• 3尖点を持つ四次曲線がノード型三次曲線の双対として射影的に一意的であることの確立を図り、モノドロミー計算を有効に実行すること。

提案手法

• 3つの実変曲点をもつノード型平面三次曲線の双対曲線としての3尖点を持つ四次曲線の実モデルを用いる。このとき無限遠直線がノード点に対応する。
• 実点と虚点をもつ曲線に対するブレードモノドロミーの計算に問題を変換し、位相的解析を簡略化する。
• 代数閉体上では3尖点を持つ四次曲線は、ノード型平面三次曲線の双対として射影的に一意的である、という古典的事実を適用する。
• 3尖点を持つ四次曲線と一般三次方程式の判別式との同値性を用い、グローバルな判別式表面を同定する。
• 判別式表面が $\mathbb{P}^3$ 内のねじれ三次曲線の接線包曲面であることを、双対性および二次形式のランク条件を用いて示す。
• 四次曲面のピンチ点と、双対平面上の関連する二次曲線が双対直線に接することの対応関係を活用し、表面の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形された $(\mathbb{Z}/2)^2$-ガロア被覆 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ の局所ブレードモノドロミー因子分解は何か？
• RQ2 このような変形の分岐曲線は古典的スワロウテイルとどのように異なり、その幾何的構造は何か？
• RQ3 なぜ3尖点を持つ四次曲線は射影的に一意的であり、この性質はモノドロミー計算にどのように利用可能か？
• RQ4 変形被覆のグローバルな判別式表面は何か？また、ねじれ三次曲線などの古典的代数的対象とどのように関係するか？
• RQ5 アーベル被覆のブレードモノドロミーは、類似の幾何的対象を用いて同様に計算可能か？

主な発見

• 変形された4重被覆の局所ブレードモノドロミー因子分解は、3つの実尖点と2本の虚二次接線をもつ3尖点四次曲線の実モデルを用いて計算された。
• 変形された分岐曲線は3尖点を持つ四次曲線であり、ノード型三次曲線の双対として射影的に一意的である。
• 変形の判別式表面は、$\mathbb{P}^3$ 内のねじれ三次曲線の接線包曲面として特定された。この表面は、ねじれ三次曲線の双対曲面としても同定された。
• この表面は一般三次方程式の判別式であり、その尖点曲線としてねじれ三次曲線をもつ唯一の四次曲面としても特徴づけられる。
• 関連する双対平面上の二次曲線が5つの固定点を通ることから、双対二次曲線がねじれ三次曲線の双対と一致することにより、一意性が導かれる。
• 構成により、この表面が既約であり、$\mathbb{PGL}(2)$ の作用による単一の四次曲面の軌道として生じることを確認し、その幾何的一意性を確立した。