[論文レビュー] The 3-rainbow index of graph operations

Tingting Liu, Yumei Hu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、さまざまなグラフ演算における3レインボーサイズの一般化である3レインボーサイズを調査する。k個の連結グラフのカルテシアン積の3レインボーサイズに対して、上限 $∑_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$ を確立し、特定の構造的条件のもとで等号が成り立つことを証明する。また、辞書的積および強積についての境界を導出し、頂点分割および辺の部分分割の影響を分析することで、これらの演算について構成的で鋭い境界を提示する。

ABSTRACT

A tree $T$, in an edge-colored graph $G$, is called {\em a rainbow tree} if no two edges of $T$ are assigned the same color. A {\em $k$-rainbow coloring}of $G$ is an edge coloring of $G$ having the property that for every set $S$ of $k$ vertices of $G$, there exists a rainbow tree $T$ in $G$ such that $S\subseteq V(T)$. The minimum number of colors needed in a $k$-rainbow coloring of $G$ is the {\em $k$-rainbow index of $G$}, denoted by $rx_k(G)$. Graph operations, both binary and unary, are an interesting subject, which can be used to understand structures of graphs. In this paper, we will study the $3$-rainbow index with respect to three important graph product operations (namely cartesian product, strong product, lexicographic product) and other graph operations. In this direction, we firstly show if $G^*=G_1\Box G_2\cdots\Box G_k$ ($k\geq 2$), where each $G_i$ is connected, then $rx_3(G^*)\leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$. Moreover, we also present a condition and show the above equality holds if every graph $G_i (1\leq i\leq k)$ meets the condition. As a corollary, we obtain an upper bound for the 3-rainbow index of strong product. Secondly, we discuss the 3-rainbow index of the lexicographic graph $G[H]$ for connected graphs $G$ and $H$. The proofs are constructive and hence yield the sharp bound. Finally, we consider the relationship between the 3-rainbow index of original graphs and other simple graph operations : the join of $G$ and $H$, split a vertex of a graph and subdivide an edge.

研究の動機と目的

• グラフ演算、特にグラフ積および頂点／辺の変更における3レインボーサイズを特定すること。
• さまざまなグラフ演算における3レインボーサイズのタイトな上界を確立すること。
• より一般化されたパラメータである3レインボーサイズへの既知のレインボーサイズの結果の拡張すること。
• 導出された境界に達する構成的彩色を提供することで、鋭さを保証すること。

提案手法

• 構成的辺彩色技法を用いて、積グラフおよび変更されたグラフの3レインボーカラーを構築する。
• 本稿は、$k \geq 2$ 個の連結グラフのカルテシアン積 $G^* = G_1 \Box \cdots \Box G_k$ に対して、$rx_3(G^*) \leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$ を証明する。
• 等号 $rx_3(G^*) = \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$ が成り立つ十分条件を同定する。
• 辞書的積 $G[H]$ に対して、$rx_3(G[H])$ の鋭い上界を与える彩色スキームを構築する。
• 頂点分割および辺の部分分割の影響を分析し、得られるグラフ $G'$ に対して $rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$ を示す。
• 証明は、スティーナー木およびレインボーサイズ接続性の構造的解析に依拠し、頂点集合に関する帰納法およびケース別分析を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の連結グラフのカルテシアン積の3レインボーサイズは何か？
• RQ2 カルテシアン積の3レインボーサイズがその要因のインデックスの和に等しくなる条件は何か？
• RQ3 辞書的積の操作において3レインボーサイズはどのように振る舞うか？
• RQ4 頂点分割または辺の部分分割の後、3レインボーサイズにどのような上界を確立できるか？
• RQ5 強積グラフの3レインボーサイズについて鋭い境界を構成できるか？

主な発見

• k \geq 2 であり、各 $G_i$ が連結であるとき、$G^* = G_1 \Box \cdots \Box G_k$ に対して $rx_3(G^*) \leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$ が成り立つ。
• 各 $G_i$ がスティーナー木および辺彩色に関連する特定の構造的条件を満たす場合、等号 $rx_3(G^*) = \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$ が成り立つ。
• 強積の3レインボーサイズの上界は、カルテシアン積の結果から系として導出される。
• G および H が連結であるとき、$G[H]$ の3レインボーサイズに対して構成的彩色により鋭い上界が得られる。
• 頂点を2つに分割すると、3レインボーサイズは最大で1増加する。すなわち、$rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$ が成り立つ。
• 同様に、辺を部分分割すると、$rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$ となるが、特定の状況ではこの境界が鋭い。