[論文レビュー] The abelianization of the level L mapping class group

Andrew Putman|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ g \geq 3 $、$ n \in \{0,1\} $、および奇数の $ L $ の場合に、レベル $ L $ の写像類群 $ \operatorname{Mod}_{g,n}(L) $ の整数係数1次ホモロジー群 $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $ を計算する。この研究では、正確な完全系列 $ 0 \to \wedge^3 H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $ を確立し、アーベル化がホモロジー群 $ H(L) = H_1(\Sigma_{g,n}; \mathbb{Z}/L\mathbb{Z}) $ の3次外冪による中心拡大であることが明らかになる。

ABSTRACT

We calculate the abelianizations of the level $L$ subgroup of the genus $g$ mapping class group and the level $L$ congruence subgroup of the $2g imes 2g$ symplectic group for $L$ odd and $g \geq 3$.

研究の動機と目的

• レベル $ L $ の写像類群 $ \operatorname{Mod}_{g,n}(L) $ の整数係数1次ホモロジー群 $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $ を $ g \geq 3 $ および $ n \in \{0,1\} $ の場合に計算すること。
• 奇数の $ L $ の場合に、写像類群のレベル $ L $ の部分群のアーベル化の構造を特定すること。
• 相対的ジョーンソン準同型とシンプレクティック Lie 環 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ が合同部分群のホモロジーにおいて果たす役割を明確にすること。
• ホモロジー完全系列における核と余核の正確な記述、特に $ \wedge^3 H(L) $ の寄与を提供すること。

提案手法

• 短完全系列 $ 1 \to \mathcal{I}_{g,n} \to \operatorname{Mod}_{g,n}(L) \to \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) \to 1 $ に関連する群ホモロジーの5項完全系列を用いる。
• Torelli群のホモロジーに関する既知の結果、特に $ H_1(\mathcal{I}_{g,n}; \mathbb{Z}) \cong \wedge^3 H \oplus (2\text{- torsion}) $ を適用し、$ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ の作用における余不変量を計算する。
• $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ を、$ \mathbb{Z}/L\mathbb{Z} $ 上の $ 2g \times 2g $ 行列で $ A^t \Omega_g + \Omega_g A = 0 $ を満たすものとして定義し、アーベル化の像としてのターゲットとする。
• $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z},L) $ に対するLee-Szczarbaの議論を模倣して、$ H_1(\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L); \mathbb{Z}) \cong \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ を証明する。
• 写像類群における交差ランタン関係を用いて、$ L[T_{x_1}T_{x_2}^{-1}] = 0 $ を示し、ホモロジーにおけるねじれ関係を導出する。
• 補題4.4を適用して、余不変量の商 $ (\wedge^3 H)_{\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L)} \cong \wedge^3 H(L) $ を示し、アーベル化写像の核を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の $ L $ および $ g \geq 3 $ の場合に、レベル $ L $ の写像類群 $ \operatorname{Mod}_{g,n}(L) $ のアーベル化の構造は何か？
• RQ2 $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ における相対的ジョーンソン準同型 $ \tau_{g,1}(L) $ はホモロジーにどのように寄与するか？
• RQ3 シンプレクティック Lie 環 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ は $ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ のアーベル化において果たす役割は何か？
• RQ4 主な結果が成り立つために $ L $ が奇数である条件が必要な理由は何か？また、偶数の $ L $ に対しても同様の結果が成り立つか？
• RQ5 $ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ による $ \wedge^3 H $ の余不変量と $ \wedge^3 H(L) $ の関係は何か？

主な発見

• 写像類群 $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ のアーベル化は、完全系列 $ 0 \to \wedge^3 H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_{g,1}(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $ に含まれる。ここで $ H(L) = H_1(\Sigma_{g,1}; \mathbb{Z}/L\mathbb{Z}) $ である。
• $ \operatorname{Mod}_g(L) $ の場合、アーベル化は $ 0 \to (\wedge^3 H(L))/H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_g(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $ で与えられる。
• 核 $ \wedge^3 H(L) $ は相対的ジョーンソン準同型 $ \tau_{g,1}(L) $ から生じる。この準同型は $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ を $ \wedge^3 H(L) $ 上に全射的に写像する。
• 余核 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ は $ H_1(\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L); \mathbb{Z}) $ に同型であり、この同型はLee-Szczarbaのアイデアを踏まえた直接的証明によって確立される。
• 証明は、$ L $ が奇数のとき、$ H_1(\mathcal{I}_{g,n}; \mathbb{Z}) $ の2階ねじれ部分が $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $ に写っても0になることを示すことに依存する。
• 余不変量の商 $ (\wedge^3 H)_{\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L)} $ は $ \wedge^3 H(L) $ に同型であり、これはアーベル化写像の核を特定する上で不可欠である。