[論文レビュー] The affine and projective groups are maximal

Itay Kaplan, Pierre Simon|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 2$ に対してアフィン群 $AGL_n(\mathbb{Q})$ と $n \geq 3$ に対して射影群 $PGL_n(\mathbb{Q})$ が、無限対称群 $S_\omega$ の閉部分群として maximal-closed であることを証明している。すなわち、それらはいかなるより大きな閉部分群にも properly に含まれない。証明は、Adeleke と Macpherson のジョルダン群の分類に基づき、これらの群を真に含む任意の群が、そのような群を特徴付ける構造（循環的分離、$D$-関係、$k$-スタイナー系、またはスタイナー系の極限）のいずれに対しても不変に保てないことを示す。これにより、最大性が確立される。

ABSTRACT

We show that the groups AGL_n(Q) and PGL_n(Q), seen as closed subgroups of S_{\infty}, are maximal-closed.

研究の動機と目的

• 無限対称群の閉部分群の研究において中心的な未解決問題である、$AGL_n(\mathbb{Q})$ および $PGL_n(\mathbb{Q})$ が $S_\omega$ において maximal-closed 部分群であるかどうかを同定すること。
• アフィン幾何および射影幾何 $\mathbb{Q}$ 上のスタイナー系の自己同型群を分析することで、maximal-closed 部分群の分類を拡張すること。
• Macpherson と Bodirsky が提起した、$S_\omega$ に可算な maximal-closed 部分群が存在するかという問題を解決すること。
• 関数 $f(x,y,z) = x+y-z$ を持つ構造 $(\mathbb{Q}^n, f)$ が非自明な定義可能還元をもたないことを示すために、$AGL_n(\mathbb{Q})$ の最大性を証明すること。

提案手法

• ジョルダン群の分類定理（Adeleke と Macpherson）を適用し、3重推移的ジョルダン群は、循環的分離、$D$-関係、$k$-スタイナー系、またはスタイナー系の極限のいずれかの構造を不変に保つことになる。
• 任意の群 $G$ が $AGL_n(\mathbb{Q})$ や $PGL_n(\mathbb{Q})$ を真に含む場合、それらを特徴付ける4つの標準的構造のいずれに対しても不変に保てないことを証明する。
• 組合せ的構成を用いて、任意の上位群が $D$-関係や循環的分離関係を不変に保てないことを除外する。
• アフィン空間 $\mathbb{Q}^n$ における直線の幾何的制約を分析することで、$AGL_n(\mathbb{Q})$ や $PGL_n(\mathbb{Q})$ が $k \geq 2$ の $k$-スタイナー系を不変に保てないことを示す。
• ある群がジョルダン集合の極限を不変に保つならば、実際に有限の $m$-スタイナー系を不変に保つ必要があることを、$\mathbb{Q}$ 上の基底要素と線形写像に基づく構成を用いて証明する。
• 証明技法を適応し、$n = \omega$ の場合、適切な基底と平行移動／シフト写像を用いることで、ある系列における十分に大きな $\Pi_i$ が必要な不変性を保つことを示し、結論として群がスタイナー系を不変に保つことになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $AGL_n(\mathbb{Q})$ は $S_\omega$ において $n \geq 2$ で maximal-closed か？
• RQ2 $PGL_n(\mathbb{Q})$ は $S_\omega$ において $n \geq 3$ で maximal-closed か？
• RQ3 関数 $f(x,y,z) = x+y-z$ を持つ構造 $(\mathbb{Q}^n, f)$ の自己同型群は非自明な定義可能還元をもつか？
• RQ4 $AGL_n(\mathbb{Q})$ を真に含む群が $k \geq 2$ の $k$-スタイナー系を不変に保てるか？
• RQ5 ある群が $PGL_n(\mathbb{Q})$ を含み、ジョルダン集合の極限を不変に保つならば、それは実際に有限スタイナー系を不変に保たなければならないか？

主な発見

• $AGL_n(\mathbb{Q})$ はすべての $n \geq 2$ に対して $S_\omega$ において maximal-closed である。
• $PGL_n(\mathbb{Q})$ はすべての $n \geq 3$ に対して $S_\omega$ において maximal-closed である。
• $AGL_n(\mathbb{Q})$ を真に含む任意の群は、$k \geq 2$ に対して $k$-スタイナー系を不変に保てない。これは $\mathbb{Q}^n$ における直線の幾何的制約による。
• $PGL_n(\mathbb{Q})$ を真に含む任意の群は、$k \geq 2$ に対して $k$-スタイナー系を不変に保てない。直線にのる点の数が必要な対称性のもとで不変に保たれないからである。
• ある群が $AGL_n(\mathbb{Q})$ を含み、ジョルダン集合の極限を不変に保ち、$m$-推移的だが $(m+1)$-推移的でないならば、それは実際に有限の $m$-スタイナー系を不変に保たなければならない。これは $AGL_n(\mathbb{Q})$ に含まれる場合を除き、矛盾を引き起こす。
• 関数 $f(x,y,z) = x+y-z$ を持つ構造 $(\mathbb{Q}^n, f)$ は非自明な定義可能還元をもたない。なぜなら、その自己同型群 $AGL_n(\mathbb{Q})$ が maximal-closed であるからである。