[論文レビュー] The affine VW supercategory

Martina Balagović, Zajj Daugherty+8 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\mathfrak{p}(n)$ の表現的代数的構造をカテゴリフィケーション化するため、$\mathfrak{p}(n)\otimes\mathfrak{p}(n)$ に真の二次的カシミールが存在しないにもかかわらず、偽のカシミール作用素 $\Omega$ を用いて多項式生成子 $Y_j$ を構成することにより、アフィン VW スーパーカテゴリを導入する。主な結果は、アフィン VW スーパーカテゴリおよびその商であるブレイヤー スーパーカテゴリにおける射空間の明示的基底定理であり、これによりそれらの構造と中心の完全な記述が可能になる。

ABSTRACT

We define the affine VW supercategory $\mathit{s}\hspace{-0.7mm}\bigvee\mkern-15mu\bigvee$, which arises from studying the action of the periplectic Lie superalgebra $\mathfrak{p}(n)$ on the tensor product $M\otimes V^{\otimes a}$ of an arbitrary representation $M$ with several copies of the vector representation $V$ of $\mathfrak{p}(n)$. It plays a role analogous to that of the degenerate affine Hecke algebras in the context of representations of the general linear group; the main obstacle was the lack of a quadratic Casimir element in $\mathfrak{p}(n)\otimes \mathfrak{p}(n)$. When $M$ is the trivial representation, the action factors through the Brauer supercategory $\mathit{s}\mathcal{B}\mathit{r}$. Our main result is an explicit basis theorem for the morphism spaces of $\mathit{s}\hspace{-0.7mm}\bigvee\mkern-15mu\bigvee$ and, as a consequence, of $\mathit{s}\mathcal{B}\mathit{r}$. The proof utilises the close connection with the representation theory of $\mathfrak{p}(n)$. As an application we explicitly describe the centre of all endomorphism algebras, and show that it behaves well under the passage to the associated graded and under deformation.

研究の動機と目的

• デジェネレートアフィンヘッケ代数が $\mathfrak{gl}_n$ のカテゴリフィケーションであるのと同様に、$\mathfrak{p}(n)$ のカテゴリフィケーションを構成すること。
• $\mathfrak{p}(n)\otimes\mathfrak{p}(n)$ に二次的カシミールが存在しないという点を補うために、$\Omega$ と呼ばれる「偽」のカシミール作用素を導入すること。
• $\Omega$ を用いて、$M\otimes V^{\otimes a}$ の自己準同型代数における多項式生成子 $Y_j$ を定義し、ジュチス＝マーフィー要素の一般化を行うこと。
• アフィン VW スーパーカテゴリおよびその商であるブレイヤー スーパーカテゴリにおける射空間の明示的基底を確立すること。
• すべての自己準同型代数の中心を記述し、その性質が次数付き構造および変形と整合することを示すこと。

提案手法

• $\mathfrak{gl}(n|n)\otimes\mathfrak{gl}(n|n)$ 内に、$\Omega = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \otimes x^*$ として偽のカシミール作用素を定義し、$y \in \mathfrak{p}(n)$ に対してコプロダクト $\Delta(y)$ と可換であることを示す。
• $\Omega$ が $\operatorname{End}_{\mathfrak{p}(n)}(M\otimes V)$ に制限されることを証明し、$\mathfrak{p}(n)$-作用と整合することを保証する。
• ジュチス＝マーフィー型要素 $Y_j = \sum_{i=0}^{j-1} \Omega_{ij}$ を定義し、ここで $\Omega_{ij}$ は $i$ 番目および $j$ 番目のテンソル因子に作用する。
• コアクションの性質と $\Omega$ の中心性を用いて、$Y_j$ が互いに可換であることを示す。
• 表現論的技法を用いて、アフィン VW スーパーカテゴリにおける射空間が明示的基底を持つことを証明する。
• 得られた基底を活用して、自己準同型代数の中心を計算し、関連する次数付き構造および変形における挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の二次的カシミールが $\mathfrak{p}(n)\otimes\mathfrak{p}(n)$ に存在しないにもかかわらず、$\mathfrak{p}(n)$ に対してデジェネレートアフィンヘッケ代数に類似した構造を構成できるか？
• RQ2 任意の $\mathfrak{p}(n)$-加群 $M$ に対して、自己準同型代数 $\operatorname{End}_{\mathfrak{p}(n)}(M\otimes V^{\otimes a})$ の構造はどのようなものか？
• RQ3 この文脈において、ジュチス＝マーフィー要素を一般化する多項式生成子 $Y_j$ をどのように定義できるか？
• RQ4 アフィン VW スーパーカテゴリおよびその商であるブレイヤー スーパーカテゴリにおける射空間の明示的基底は何か？
• RQ5 自己準同型代数の中心は、関連する次数付き構造および変形においてどのように振る舞うか？

主な発見

• アフィン VW スーパーカテゴリ $\mathit{s}\bigdoublevee$ は、$\mathfrak{p}(n)$ と可換な $M\otimes V^{\otimes a}$ の自己準同型のなす圏として定義され、射空間は $Y_j$ とブレイヤー関係式によって生成される。
• アフィン VW スーパーカテゴリ $\mathit{s}\bigdoublevee$ における射空間の明示的基底が構成され、デジェネレートアフィンヘッケ代数の基底を一般化する。
• この基底定理は、$M$ が自明な場合の商であるブレイヤー スーパーカテゴリ $\mathit{s}\mathcal{B}\mathit{r}$ に対しても適用可能である。
• $\mathit{s}\bigdoublevee$ 内のすべての自己準同型代数の中心が明示的に記述され、関連する次数付き構造および変形と整合することが示された。
• 偽のカシミール作用素 $\Omega$ が、すべての $y \in \mathfrak{p}(n)$ に対してコプロダクト $\Delta(y)$ と可換であることが示され、これにより $Y_j$ の構成が可能になった。
• $V\otimes V$ 上での $\Omega$ の作用が $\sigma + \beta^*\beta$ として計算され、カシミールの代わりにスーパートレースに基づく代替としての役割が確認された。