[論文レビュー] The algebra generated by idempotents in a Fourier-Stieltjes algebra

Monica Ilie, Nico Spronk|ArXiv.org|Oct 24, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、局所コンpakト群 $G$ のフーリエ＝スティルチェス代数における冪等元の閉線形包として定義される代数 $\mathrm{B}_I(G)$ を導入し、それが $G$ の '冪等コンパクト化' $G^I$ をスペクトルとする正則なバナッハ代数であることを示している。主な結果は、$\mathrm{B}_I(G) \cong \mathrm{B}_I(H)$ が完全等長同型であるための必要十分条件が、$G/G_e \cong H/H_e$ であること、ここで $G_e$ および $H_e$ はそれぞれ $G$ と $H$ の単位元の生成する連結成分である。

ABSTRACT

We study the closed algebra B_I(G) generated by the idempotents in the Fourier-Stieltjes algebra of a locally compact group G. We show that it is a regular Banach algebra with computable spectrum G^I, which we call the idempotent compactification of G. For any locally compact groups G and H, we show that B_I(G) is completely isometrically isomorphic to B_I(H) exactly when G/G_e= H/H_e, where G_e and H_e are the connected components of the identities. We compute some examples to illustrate out results.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $G$ のフーリエ＝スティルチェス代数 $\mathrm{B}(G)$ における冪等元によって生成される閉部分代数 $\mathrm{B}_I(G)$ を特徴付けること。
• スペクトル $\mathrm{B}_I(G)$ を位相空間 $G^I$ として記述し、これを '冪等コンパクト化' と呼ぶこと。
• $\mathrm{B}_I(G)$ と $\mathrm{B}_I(H)$ が完全等長同型である条件を同定すること。
• 特に単位元の連結成分の役割に注目し、群の位相と商を用いた $\mathrm{B}_I(G)$ の構造を分析すること。
• 一般理論と冪等コンパクト化の性質を説明するため、$\mathbb{Z}^2$、$\mathbb{Q}$、および自由群を含む具体的な例を計算すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathrm{B}(G)$ 内のすべての冪等元の線形包のノルム閉包として $\mathrm{B}_I(G)$ を定義し、これらは開コセットによって生成されるブール環 $\Omega_o(G)$ の元 $Y$ に対する特性関数 $1_Y$ にちょうど一致する。
• 彼らは、完成 $G_\tau$ が局所コンパクトとなるような $G$ 上の群位相 $\tau$ の理論を用い、その集合を $\mathcal{T}(G)$ とし、特に非商位相の部分集合 $\mathcal{T}_{nq}(G)$ に注目する。
• $\tau \in \mathcal{T}_{nq}(G)$ に対して、単位表現 $\lambda_\tau = \lambda_{G_\tau} \circ \eta_\tau$ の行列係数からなる部分代数 $\mathrm{A}_\tau(G) \subset \mathrm{B}(G)$ を関連付け、$\mathrm{B}_I(G)$ を $\Omega_o(G)$ の元の特性関数の閉包として記述する。
• 彼らは、$\mathrm{B}_I(G)$ のスペクトルとしての冪等コンパクト化 $G^I$ を定義し、それが $\mathrm{B}_I(G)$ の閉イデアルをパラメトライズするコンパクトハウスドルフ空間であることを示している。
• 彼らは、$\mathrm{B}_I(G)$ が $\mathrm{B}_I(H)$ と完全等長同型であるための必要十分条件が $G/G_e \cong H/H_e$ であること、特に $\mathrm{B}_I(G)$ が単位元の連結成分による商にのみ依存することを用いて、この同型条件を確立している。
• 彼らは、$\mathcal{T}_{nq}^{td}(G)$ 内の半順序集合の構造を用いて、例として $\mathrm{B}_I(\mathbb{Z}^2)$、$\mathrm{B}_I(\mathbb{Q})$、$\mathrm{B}_I(\mathrm{F}_\infty)$ を計算している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群 $G$ のフーリエ＝スティルチェス代数 $\mathrm{B}(G)$ 内の冪等元によって生成される閉部分代数 $\mathrm{B}_I(G)$ の構造は何か？
• RQ2 スペクトル $\mathrm{B}_I(G)$ の位相的記述は何か？ また、群の構造的意味は何か？
• RQ3 二つの局所コンパクト群 $G$ と $H$ に対して、代数 $\mathrm{B}_I(G)$ と $\mathrm{B}_I(H)$ が完全等長同型であるための条件は何か？
• RQ4 冪等コンパクト化 $G^I$ は、特に単位元の連結成分にかかわる群の位相とどのように関係するか？
• RQ5 特定の群 $\mathbb{Z}^2$、$\mathbb{Q}$、自由群に対して、$\mathrm{B}_I(G)$ の明示的記述は何か？

主な発見

• 代数 $\mathrm{B}_I(G)$ は、$G$ の '冪等コンパクト化' $G^I$ をスペクトルとする正則なバナッハ代数であり、これは $\mathrm{B}_I(G)$ の閉イデアルをパラメトライズするコンパクトハウスドルフ空間である。
• $\mathrm{B}_I(G) \cong \mathrm{B}_I(H)$ が完全等長同型であるための必要十分条件は、$G/G_e \cong H/H_e$ であり、ここで $G_e$ および $H_e$ はそれぞれ $G$ と $H$ の単位元の生成する連結成分である。
• $\mathbb{Z}^2$ に対して、集合 $\mathcal{T}_{nq}^{td}(\mathbb{Z}^2)$ は、$\tan\theta \in \mathbb{Q} \cup \{\infty\}$ を満たす $\theta$ に対して、位相 $\tau_{td}$、$\tau_\theta \vee \tau_{td}$、および $\tau_d$ を含み、$\mathrm{A}_{\tau_{\theta} \vee \tau_{td}}(\mathbb{Z}^2)$ は、無限大の指数をもつ無限大部分群 $H \leq \mathbb{Z}^2$ 全体の特性関数 $1_H$ を含む。
• $\mathbb{Q}$ に対して、完全不連結部 $\mathcal{T}_{nq}^{td}(\mathbb{Q})$ はシングルトンであるため、$\mathbb{Q}^{td}$ は自明であり、$\mathbb{Q}^{ap} \cong \widehat{\widehat{\mathbb{Q}}_d} \cong \widehat{\mathbb{Q}}^{\mathfrak{c}}$ は連結であるため、$\mathbb{Q}^{td}$ は自明である。
• $\mathrm{B}_I(\mathbb{Z})$ は、$\mathrm{B}(\mathbb{Z}) \cong \mathrm{M}(\mathbb{T})$ のフーリエ＝スティルチェス変換から生じる $\ell^1(\mathbb{Z}) \oplus_{\ell^1} \mathrm{L}^1(\mathbb{T})$ に同型であり、冪等測度は $\ell^1(\mathrm{t}(\mathbb{T})) \oplus_{\ell^1} \mathrm{L}^1(\mathbb{T})$ に対応する。
• $\mathrm{F}_\infty$ に対して、集合 $\mathcal{T}_{nq}^{td}(\mathrm{F}_\infty)$ は大きく、$\mathrm{F}_\infty^{td}$ の商として任意の分離可能な完全不連結群が現れるため、豊かな位相とそれに対応する代数の構造を持つことが示唆される。