[論文レビュー] The algebra of bi-brackets and regularised multiple Eisenstein series

Henrik Bachmann|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

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ひとこと要約

本稿では、多重除数和を一般化するq級数のクラスとして、bi-bracketsを導入し、それらを用いて2つの正則化された多重エーゼンスタイン級数—G^{ atural} および G^{ atural}—を構成する。これらはそれぞれ、すくい合わせ積およびシャッフル積の関係を満たす。両方の級数を多重ゼータ値とbi-bracketsの線形結合として表現することで、低重量における多重エーゼンスタイン級数の有限二重すくい合わせ関係を導出し、従来の結果を拡張するとともに、qアナロジーとしての多重ゼータ値の統一的代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the algebra of certain $q$-series, called bi-brackets, whose coefficients are given by weighted sums over partitions. These series incorporate the theory of modular forms for the full modular group as well as the theory of multiple zeta values (MZV) due to their appearance in the Fourier expansion of regularised multiple Eisenstein series. Using the conjugation of partitions we obtain linear relations between bi-brackets, called the partition relations, which yield naturally two different ways of expressing the product of two bi-brackets similar to the stuffle and shuffle product of multiple zeta values. Bi-brackets are generalizations of the generating functions of multiple divisor sums, called brackets, $[s_1,\dots,s_l]$ studied by the author and U. Kühn. We use the algebraic structure of bi-brackets to define further $q$-series $[s_1,\dots,s_l]^{sh}$ and $[s_1,\dots,s_l]^\ast$ which satisfy the shuffle and stuffle product formulas of MZV by using results about quasi-shuffle algebras introduced by Hoffman. In a recent work the author and K. Tasaka defined regularised multiple Eisenstein series $G^{sh}$, by using an explicit connection to the coproduct on formal iterated integrals. These satisfy the shuffle product formula. Applying the same concept for the coproduct on quasi-shuffle algebras enables us to define multiple Eisenstein series $G^\ast$ satisfying the stuffle product. We show that both $G^{sh}$ and $G^\ast$ are given by linear combinations of products of MZV and bi-brackets. Comparing these two regularized multiple Eisenstein series enables us to obtain finite double shuffle relations for multiple Eisenstein series in low weights which extend the relations proven before.

研究の動機と目的

• Fourier展開を通じてモジュラー形式と多重ゼータ値を統一する、q級数の一般化されたクラス、すなわちbi-bracketsを定義すること。
• すくい合わせ積およびシャッフル積の公式をそれぞれ満たす2つの正則化された多重エーゼンスタイン級数 G^{ atural} および G^{ atural} を構成することにより、収束重量の範囲を超えて古典的MESを拡張すること。
• bi-bracketsを含む線形結合を通じて、これらの正則化級数と多重ゼータ値との関係を確立すること。
• 2つの正則化構成を比較することにより、低重量における多重エーゼンスタイン級数の有限二重すくい合わせ関係を導出すること。
• シャッフルおよびすくい合わせ積に類似した2つの積演算を備えた、豊かな代数的構造を持つqアナロジーとしての多重ゼータ値を提供すること。

提案手法

• 分割の双対性を用いてbi-bracketsの代数を構築し、多重ゼータ値のシャッフルおよびすくい合わせ積に類似した2つの異なる積構造を導出する。
• G^{ atural} および G^{ atural} の構成には、擬シャッフル代数のコプロダクトを用い、[BT]で用いられたシャッフル正則化級数の手法を拡張する。
• bi-bracketsが、両方の正則化された多重エーゼンスタイン級数のFourier展開におけるq級数成分を生成することを示す。
• 著者らは、G^{ atural} および G^{ atural} を、多重ゼータ値とbi-bracketsの積の線形結合として表現し、直接的な比較を可能にする。
• 2つの正則化級数を比較することで、有限二重すくい合わせ関係を導出し、低重量における新たな代数的制約を明らかにする。
• 自由な結合代数（文字 {x,y} および {z1,z2,...} の上）の代数的構造を用い、標準的な組合せ論的規則に基づいてシャッフルおよびすくい合わせ積を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束重量の範囲を超えて、代数的構造を保ちながら多重エーゼンスタイン級数をどのように正則化できるか。
• RQ2 正則化された多重エーゼンスタイン級数のFourier展開に現れるq級数（bi-brackets）の代数的構造は何か。
• RQ3 1つの枠組みの中で、正則化された多重エーゼンスタイン級数に対して、シャッフルおよびすくい合わせ積の両方の関係を実現できるか。
• RQ4 2つの正則化構成 G^{ atural} および G^{ atural} を比較することで、どのような有限二重すくい合わせ関係が導かれるか。
• RQ5 正則化された多重エーゼンスタイン級数の空間の次元が、量子多重ゼータ値の関連する次数付き空間の予想次元とどの程度一致するか。

主な発見

• 本稿では、すくい合わせ積およびシャッフル積の公式をそれぞれ満たす2つの正則化された多重エーゼンスタイン級数 G^{ atural} および G^{ atural} を構成し、収束重量の範囲を超えて古典的MESをすべての許容可能なインデックスにまで拡張する。
• G^{ atural} および G^{ atural} は、両方とも多重ゼータ値とbi-bracketsの積の線形結合として表現されており、統一的な代数的枠組みを提供する。
• 重量14までで、多重エーゼンスタイン級数の有限二重すくい合わせ関係が導出され、その数は重量7までの量子多重ゼータ値空間の予想次元と一致する。
• 重量kにおけるシャッフル正則化された多重エーゼンスタイン級数の空間の次元は、少なくとも gen_k - d'_k 以上であり、重量7までで等式が成立すると予想されている。
• G^{ atural} および G^{ atural} の比較により、rds_k 個の関係では G^{ atural} 級数の間のすべての関係を捉えきれないことが判明し、制限付き有限二重すくい合わせ関係を超える追加の代数的制約が存在することが示唆される。
• 本稿は、許容可能なシャッフル正則化された多重エーゼンスタイン級数の空間の次元が、予想される gr^W_k(qMZ) の次元 d'_k と一致するという強力な証拠を提供しており、深い代数的同型関係が存在すると示唆している。