[論文レビュー] The Alon-Tarsi number of subgraphs of a planar graph

Ringi Kim, Seog‐Jin Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の平面的グラフ G に対して、G−E(F) の Alon-Tenser 数が 3 以下であるような森林 F が存在することを確立している。これは 3-choosability および 3-paintability を示唆する。また、最大次数 ≤3 の部分グラフやスターフォレストを削除しても 3-choosability が保たれない場合があることを示す反例を構成しているが、三角形面を持つ平面的グラフに対する帰納的向き付け技法を用いて、一般に存在する結果を証明している。

ABSTRACT

This paper constructs a planar graph $G_1$ such that for any subgraph $H$ of $G_1$ with maximum degree $Δ(H) \le 3$, $G_1-E(H)$ is not $3$-choosable, and a planar graph $G_2$ such that for any star forest $F$ in $G_2$, $G_2-E(F)$ contains a copy of $K_4$ and hence $G_2-E(F)$ is not $3$-colourable. On the other hand, we prove that every planar graph $G$ contains a forest $F$ such that the Alon-Tarsi number of $G - E(F)$ is at most $3$, and hence $G - E(F)$ is 3-paintable and 3-choosable.

研究の動機と目的

• 平面的グラフから特定の部分グラフ（例えば、森林、次数 3 以下の部分グラフ）を削除しても 3-choosability が保たれるかを調査すること。
• 任意の平面的グラフが、最大次数 ≤d であるような森林 F を持ち、G−E(F) の Alon-Tarsi 数が ≤3 であるような普遍定数 d が存在するかを特定すること。
• 平面的グラフにおけるリスト彩色性の部分グラフ削除の構造的制限を解消すること。
• 任意の平面的グラフ G に対して、G−E(F) が Alon-Tarsi 数の分析により 3-paintable かつ 3-choosable であるような森林 F が存在することを証明すること。

提案手法

• すべての内部面が三角形である平面的グラフの辺数に関する帰納法を用いる。
• 境界サイクルを共有する部分グラフ G₁ と G₂′ に平面的グラフを再帰的に分解し、構造的性質を保つように辺を削除する。
• 部分グラフからの向き付け D₁ と D₂ を組み合わせて、G−E(F) の「よい向き付け」D を構成し、|EE(D)| ≠ |OE(D)| を満たす。
• グラフ多項式の係数解析を通じて Alon-Tarsi 定理を適用：AT(G) ≤ 3 であるとは、各頂点について非ゼロ係数で次数が 3 より小さい単項式が存在することである。
• 「よい向き付け」とは、偶数個と奇数個のオイラー部分グラフの数の差がゼロでない向き付けであり、多項式係数が消えないことを保証する。
• 辺の縮約や頂点の削除（例：G′ = G−z）を用いて複雑性を低下させつつ、必要な向き付けおよび森林の包含性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の平面的グラフ G に対して、G−E(F) の Alon-Tarsi 数が 3 以下であるような森林 F が存在するか？
• RQ2 平面的グラフ G から Δ(H) ≤ 3 である部分グラフ H を削除しても 3-choosability が保たれるか？
• RQ3 任意の平面的グラフが、最大次数 ≤d であるような森林 F を持ち、G−E(F) の Alon-Tarsi 数が ≤3 であるような定数 d が存在するか？
• RQ4 平面的グラフ G からスターフォレスト F を削除しても、得られるグラフが 3-彩色不能である場合があるか？
• RQ5 部分グラフ H にどのような構造的条件を課すと、G−E(H) が 3-choosable のまま保たれるか？

主な発見

• 任意の平面的グラフ G に対して、G−E(F) の Alon-Tarsi 数が 3 以下であるような森林 F が存在し、これは 3-choosability および 3-paintability を示唆する。
• 最大次数 ≤3 である任意の部分グラフ H に対して、G₁−E(H) が 3-choosable でないような平面的グラフ G₁ が存在する。
• 任意のスターフォレスト F に対して、G₂−E(F) に K₄ を含み、したがって 3-彩色不能であるような平面的グラフ G₂ が存在する。
• 適切に選ばれた森林 F に対して、G−E(F) の Alon-Tarsi 数は 3 で有界であり、非ゼロの |EE(D)|−|OE(D)| を持つ「よい向き付け」の帰納的構成により保証される。
• 証明は、三角形面を持つ部分グラフに平面的グラフを分解し、再帰的な辺および頂点削減を通じて Alon-Tarsi 条件を保つ向き付けを構築することに依存する。
• このような森林 F の存在は、G の初期構造に関係なく保証され、平面的グラフの普遍的な構造的性質を示している。