[論文レビュー] The Alpha-Heston Stochastic Volatility Model

Ying Jiao, Chunhua Ma+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$α$-安定Lévy過程が分散過程のジャンプを駆動するアフィン拡張型Heston確率的ボラティリティモデル、すなわちα-Hestonモデルを導入する。このモデルにより、自己駆動型ジャンプクラスタリングと重たい尾部のダイナミクスを実現できる。主な貢献は、この枠組み下でのインプライドボラティリティ・サーフェスおよび漸近的挙動の厳密な特徴付けであり、収束結果により、市場データに観察される極端なボラティリティイベントおよびクラスタリング効果、特に危機時における挙動をモデルが捉えられることを示している。

ABSTRACT

We introduce an affine extension of the Heston model where the instantaneous variance process contains a jump part driven by $α$-stable processes with $α\in(1,2]$. In this framework, we examine the implied volatility and its asymptotic behaviors for both asset and variance options. Furthermore, we examine the jump clustering phenomenon observed on the variance market and provide a jump cluster decomposition which allows to analyse the cluster processes.

研究の動機と目的

• 標準Hestonモデルが市場危機時の極端なボラティリティを捉えられないという限界と、現実的なジャンプクラスタリングの欠如に応えること。
• 分散ダイナミクスに$α$-安定Lévy過程を組み込むことで、重たい尾部の増分を持つ自己駆動型ジャンプをモデル化すること。
• 新モデル下での株式および分散オプションのインプライドボラティリティ・サーフェスとその漸近的挙動を分析すること。
• CIRに基づく平均回帰的分散と、マークド・ハワース過程およびCBI過程を用いた内生的ジャンプクラスタリングを統合する、簡潔かつ現実的なフレームワークを提供すること。
• スケーリング下でのジャンプ成分の理論的収束結果を確立し、適切な正規化のもとで確定的極限への収束を示すこと。

提案手法

• $α \in (1,2]$を満たす$α$-安定Lévy過程を含むインstantaneous varianceのSDEを変更することで、$α$-Hestonモデルを導入。これにより、重たい尾部および自己駆動型ジャンプダイナミクスが可能になる。
• 無限活性のマークド・ハワース過程とブラウン運動ノイズ成分を用いて、自己駆動型ジャンプ特性をモデル化。積分的特徴付けにより、CBI過程と関連付ける。
• DawsonとLi（1998）の一般SDEフレームワークを用い、移民を伴うCBI過程として分散過程を表現。これにより、アフィン構造と取り扱いやすさを保証。
• ジャンプダイナミクスと吸収特性を記述するための分岐機構$\Psi_{\alpha}(q) = aq + \frac{\sigma^2}{2}q^2 - \frac{\sigma_N^\alpha}{\cos(\pi\alpha/2)}q^\alpha$を採用。
• グレイの条件と常微分方程式$\frac{d}{dt}q_t = -\Psi_\alpha(q_t)$の最小解を用いて、消滅時刻およびモーメント母関数を分析。
• スケーリング極限を適用：$y_n \sim c n^{1/\alpha}$の下で、正規化されたジャンプ過程$J_{nt}^{(y_n)}$は、$\frac{\sigma_N^\alpha}{\alpha \cos(\pi\alpha/2) \Gamma(-\alpha) c^\alpha}$に比例する強度の複合ポアソン過程に分布収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散過程に$α$-安定ジャンプを組み込むことで、株式および分散オプションのインプライドボラティリティ・サーフェスにどのような影響を与えるか？
• RQ2 α-Hestonモデルは、サブプライム危機やブレグジットなど、市場危機時に観察される実際のジャンプクラスタリングを再現できるか？
• RQ3 特に長期満期および極端なストライク領域において、α-Hestonモデル下でのインプライドボラティリティの漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 $α$-安定Lévy過程によって駆動されるモデルのジャンプ構造は、VIXおよび実現ボラティリティデータの経験的パワーロー尾部とどのように関係するか？
• RQ5 適切なスケーリング下でのジャンプ成分の極限挙動は何か？ これは確定的極限か、確率的極限に収束するか？

主な発見

• α-Hestonモデルは、2008年、2010年、2016年など、危機期に顕著に観察されるVIXインデックスにおける自己駆動型ジャンプクラスタリング現象を的確に捉えている。
• モデルの分散過程は、移民を伴うCBI過程として表現可能であり、解析的取り扱いやすさに加え、無限活性のマークド・ハワース過程と明確な関連性を持つ。
• ジャンプ成分$J_{nt}^{(y_n)}$は、$\frac{\sigma_N^\alpha}{\alpha \cos(\pi\alpha/2) \Gamma(-\alpha) c^\alpha}$に比例する強度の複合ポアソン過程に分布収束し、スケーリング下で確定的極限に収束することが示された。
• 正規化積分$\frac{1}{n}\int_0^{nt} V_s^{(y_n)} ds$は確率的に$bt$に収束する。ここで$b$は正の定数であり、分散過程の安定な長期的挙動を示している。
• ジャンプ過程のモーメント母関数は、$\exp\left\{ -\frac{\sigma_N^\alpha bt}{\alpha \cos(\pi\alpha/2) \Gamma(-\alpha) c^\alpha} (e^{-\theta} - 1) \right\}$に収束し、複合ポアソン過程への収束が確認された。
• モデルはフェラー条件を保ち、分散がほとんど確実に正のままであることを保証し、アフィン構造とCBI過程理論を用いた解析的取り扱いやすさを維持している。