[論文レビュー] The anisotropic Calder{ó}n problem for singular metrics of warped product type: the borderline between uniqueness and invisibility

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異な計量をもつワーペッド積リーマン多様体上の非等方的 Calderón 問題について、一意性および見えない領域の閾値を確立する。特異な Sturm-Liouville 理論と Weyl-Titchmarsh 関数を用いて、係数が臨界的 $L^p$ 空間または $L^∞$ に属する場合、Dirichlet-to-Neumann 再構成が計量を一意に特定することを証明する。それ以上の範囲では、反例により、領域が境界測定に見えなくなることが示される。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the anisotropic Calder{ó}n problem on cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends and equipped with singular metrics of (simple or double) warped product type, that is whose warping factors only depend on the horizontal direction of the cylinder. By singular, we mean that these factors are only assumed to be positive almost everywhere and to belong to some L p space with 0 < p $\le$ $\infty$. Using recent developments on the Weyl-Titchmarsh theory for singular Sturm-Liouville operators, we prove that the local Dirichlet-to-Neumann maps at each end are well defined and determine the metric uniquely if: 1. (Doubly warped product case) the coefficients of the metric are L $\infty$ and bounded from below by a positive constant. 2. (Warped product case) the coefficients of the metrics belong to a critical L p space where p < $\infty$ depends on the dimension of the compact fibers of the cylinder. Finally, we show (in the warped product case and for zero frequency) that these uniqueness results are sharp by giving simple counterexamples for a class of singular metrics whose coefficients do not belong to the critical L p space. All these counterexamples lead to a region of space that is invisible to boundary measurements.

研究の動機と目的

• 特異なリーマン計量をもつワーペッド積型の非等方的 Calderón 問題において、一意性と見えなさの境界を特定すること。
• 境界をもつ円柱型多様体上で、Dirichlet-to-Neumann 再構成が計量を一意に特定する条件を確立すること。
• 計量係数の臨界的可積分性閾値（$L^p$ または $L^∞$）を同定し、それ以上に係数が滑らかでない場合に一意性が失われ、見えなさが生じることを明らかにすること。
• 境界測定によって検出不能な領域が生じるクローキング効果を示す、明示的な反例を構成すること。

提案手法

• 可測係数をもつ特異な Sturm-Liouville 演算子に対する最近の Weyl-Titchmarsh 理論の発展を応用する。
• ワーペッド積計量における変数分離から生じる径方向 ODE のスペクトル理論を分析する。
• 複素角運動量法を用いて、円柱の各端におけるスペクトルデータと DN 再構成を関連付ける。
• 弱解を $H^1(M)$ 内で用いることで Dirichlet-to-Neumann 再構成を導出し、特異計量に対しても適切に定義されることを保証する。
• 累乗特異性 $|x - x_0|^{-r}$ をもつ径方向 ODE の明示的解を構成し、$L^2$-可積分性およびエネルギー条件を分析する。
• エネルギー推定とベッセル型解の漸近解析を用いて、有限エネルギー解が存在し、それが一意となる条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワーペッド積の場合に、DN 再構成から計量の一意性を保証するための、計量係数の臨界的 $L^p$ 可積分性閾値は何か？
• RQ2 二重にワーペッドされた積の場合に、係数の $L^∞$-有界性が一意性に与える影響は何か？
• RQ3 どのような条件下で特異計量が、境界測定によって検出不能な領域（見えなさ）を生じさせるか？
• RQ4 計量が他の領域では滑らかであっても、DN 再構成が領域内の計量変化を検出できない反例を構成可能か？
• RQ5 コン pact ファイバーの次元が、一意性のための臨界的 $L^p$ 空間を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 二重にワーペッドされた積計量の場合、係数が $L^∞$ に属し、正の定数で下から押さえられているならば、Dirichlet-to-Neumann 再構成は計量を一意に特定する。
• ワーペッド積の場合、係数が臨界的 $L^p$ 空間に属する場合に一意性が成立し、$n > 2$ のとき $p = \frac{2n}{n-2}$、$n=2$ のとき $p = ∞$ である。
• 計量係数が臨界的 $L^p$ 閾値を下回る場合、反例により DN 再構成が中心領域の計量を区別できず、見えなさが生じることが示される。
• 反例は、$r$ が臨界指数を超える累乗特異性 $|x - x_0|^{-r}$ をもつ計量を含み、界面間でクローキング効果が生じる。
• 次元 $n=3$ の場合、臨界的 $L^p$ 空間は $p = 3$ に対応し、$r \to 2^-$ のとき、計量は十分に特異になり、見えなさが可能になる。
• すべての反例構成においてリーマン体積は有限であり、見えなさは無限大体積に起因するのではなく、特異計量の振る舞いに起因することを確認する。