[論文レビュー] The area rule for circulation in three-dimensional turbulence

Kartik P. Iyer, Sachin S. Bharadwaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は三次元乱流における面積則を検証し、閉じたループ回りの循環の確率密度関数（PDF）が、その形状ではなく、ループが張る最小面積にのみ依存することを提案する。高解像度の直接数値シミュレーション（DNS）とガウス確率場（GRF）の比較により、正規化された循環モーメントがループの形状にかかわらずほぼ普遍的であることが示され、偏差は5%未満であり、高次統計における面積則の頑健性を裏付け、最小面積が乱流ダイナミクスの中心的役割を果たしていることを示唆する。

ABSTRACT

An important idea underlying a plausible dynamical theory of circulation in three-dimensional turbulence is the so-called Area Rule, according to which the probability density function (PDF) of the circulation around closed loops depends only on the minimal area of the loop, not its shape. We assess the robustness of the Area Rule, for both planar and non-planar loops, using high-resolution data from Direct Numerical Simulations. For planar loops, the circulation moments for rectangular shapes match those for the square with only small differences, these differences being larger when the aspect ratio is further from unity, and when the moment-order increases. The differences do not exceed about $5\%$ for any condition examined here. The aspect-ratio dependence observed for the second-order moment are indistinguishable from results for the Gaussian Random Field (GRF) with the same two-point correlation function (for which the results are order-independent by construction). When normalized by the SD of the PDF, the aspect ratio dependence is even smaller $(< 2\%)$ but does not vanish unlike for the GRF. We obtain circulation statistics around minimal area loops in three dimensions and compare them to those of a planar loop circumscribing equivalent areas, and we find that circulation statistics match in the two cases only when normalized by an internal variable such as the SD. This work highlights the hitherto unknown connection between minimal surfaces and turbulence.

研究の動機と目的

• 3次元乱流における平面および非平面なループに対して、循環のPDFが最小面積にのみ依存するという面積則の頑健性を検証すること。
• 標準偏差などの内部変数で正規化した場合、循環統計がループの幾何的形状に依存しないかどうかを特定すること。
• 最小面積が乱流ダイナミクス、特に渦度とエネルギー散逸のスケーリングに関与する役割を明らかにすること。
• 3次元非圧縮性ナビエ-ストークス方程式のDNSデータと、合成的なガウス確率場（GRF）を比較し、動的要因と運動的要因を分離すること。
• 循環モーメントの普遍的スケーリングが、最小面積と不規則性の間のより深い関係を示唆するかどうかを評価すること。

提案手法

• 大スケールでエネルギー入力を伴う3次元非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の高解像度直接数値シミュレーション（DNS）を実施し、定常乱流を維持する。
• DNSと同一の2点間速度相関関数とスケール範囲を持つ、発散なしの合成ガウス確率場（GRF）を構築し、比較対象とする。
• ストークスの定理を用いて、最小面積上の渦度フラックスに関連づけて、さまざまな平面および非平面なループ回りの循環Γ(C)を計算する。
• 異なるループ形状および最小面積における循環の確率密度関数（PDF）およびそのモーメントを分析する。
• 標準偏差で正規化した循環モーメントを用い、ループの幾何的形状に依存しない普遍性を検証する。
• DNSとGRF間の正規化されたモーメント比およびPDFテールを比較し、乱流の非ガウス的・動的特徴を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 面積則が予測するように、3次元乱流において、循環のPDFはループの形状に関係なく最小面積にのみ依存するのか？
• RQ2 平面ループのアスペクト比に応じて循環モーメントはどのように変化するのか。また、ガウス統計からどれほど逸脱するのか？
• RQ3 特に高次モーメントにおいて、正規化された循環PDFがさまざまなループ幾何形状に対してどれほど普遍的であるのか？
• RQ4 同じ最小面積を持つ非平面ループの循環統計は、平面ループと比較してどのように異なるのか。また、ループの向きはどのような役割を果たすのか？
• RQ5 局所的渦度またはエネルギー散逸でスケーリングした場合、循環PDFのテールが一様な関数形で記述可能であるか。これは、最小面積と不規則性の間のより深い普遍的スケーリングを示唆するのか？

主な発見

• 平面ループでは、長方形および正方形の循環モーメントは、全テストされたアスペクト比およびモーメント次数において5%未満の差異にとどまり、高次モーメントおよびアスペクト比が1から離れるほどわずかに増加する。
• 2次モーメントにおけるアスペクト比依存性は、同一の2点相関を持つガウス確率場（GRF）と区別できないため、この効果は運動的起源であることが示唆される。
• 標準偏差で正規化した場合、アスペクト比依存性は2%未満に低下するが、GRFの場合とは異なり完全には消えないため、ガウス性を越えた非自明な動的寄与が存在することが示唆される。
• 同じ最小面積を持つ非平面ループでは、平面ループとは比較的大きな差異が見られるが、正規化されたPDFは一致し、正規化が普遍性を回復させることを示している。
• 異なるループ形状における正規化された高次モーメント比は、12次のモーメントまで誤差範囲内で一致し、内部変数でスケーリングされた際の循環PDFの形状がループ幾何形状に依存しないことを確認した。
• 循環PDFのテールは、αexp(−b|Γ|)/√|Γ|に近い形を示し、指数的減衰を示している。これは、速度差分が必要な伸びた指数関数的フィットとは異なり、循環には異なる統計的挙動があることを示唆している。