[論文レビュー] The asymptotic growth of graded linear series on arbitrary projective schemes

Steven Dale Cutkosky|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完備体上の射影的スキームの階級付き線形系列の漸近的成長を完全に特徴づける。非特異的スキームでは多項式的成長が成り立つが（古典的結果の一般化）、非可約スキームでは極めて不規則な成長を示す可能性があり、算術的数列に沿ってさえ極限が存在しない場合がある。これにより、代数幾何学における多項式的成長定理の適用範囲の鋭い境界が特定される。

ABSTRACT

Recently, Okounkov, Lazarsfeld and Mustata, and Kaveh and Khovanskii have shown that the growth of a graded linear series on a projective variety over an algebraically closed field is asymptotic to a polynomial. We give a complete description of the possible asymptotic growth of graded linear series on projective schemes over a perfect field. If the scheme is reduced, then the growth is polynomial like, but the growth can be very complex on nonreduced schemes. We also give an example of a graded family of m-primary ideals {I_n} in a nonreduced d-dimensional local ring R, such that the length of R/I_n divided by n^d does not have a limit, even when restricted to any arithmetic sequence.

研究の動機と目的

• 射影的多様体上の階級付き線形系列に対する多項式的成長定理が、完備体上の任意の射影的スキームへとどの程度拡張可能かを特定すること。
• 特に q が Kodaira-Iitaka 次元である場合に、非可約スキーム上の階級付き線形系列について、dim_k(L_n)/n^q の極限が存在するかを調査すること。
• 算術的数列に制限しても極限が存在しない具体例を構成することで、既存の定理の適用範囲の鋭い境界を特定すること。
• 階級付きイデアル族に対する体積に類似した極限の存在を保証するための、非可約性と局所環構造の役割を明確化すること。
• q(L) ≥ 0 のとき、非可約スキームでは古典的上界 dim_k(L_n) < βn^{q(L)} が成り立つが、非可約な設定では成立しない可能性があることを確立すること。

提案手法

• 階級付き線形系列およびそれらに関連する代数の理論を用い、特にセクション環のクルール次元とヒルベルト多項式に注目する。
• ヴェロネーゼ部分代数の構成を用いて、成長の研究を1次生成元に還元し、ヒルベルト多項式理論の適用を可能にする。
• 準素線分束の技法を用い、特に豊富な線分束と写像 O_X → O_X(c) を用いて、全切断と加群構造との関係を明示する。
• R = k[[x_1,…,x_d,y]]/y^2 のような非可約局所環を用いた具体例を構成し、極限の存在が失敗することを示す。
• ヒルベルト＝サミュエル多項式および解析的非分岐性の概念を含む可換代数の結果を用い、長さ ℓ_R(R/I_n) の成長を分析する。
• 標準的階級付き環におけるゼロ除因子の存在と、階級付き素イデアル回避を用いて、基礎的な単射写像と次元の上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的多様体上の階級付き線形系列の漸近的多項式的成長は、完備体上の非可約射影的スキームへと拡張可能か？
• RQ2 非可約スキームにおいて、n を算術的数列に制限しても、lim_{n→∞} dim_k(L_n)/n^q の極限が存在しないことはあり得るか？
• RQ3 q(L) ≥ 0 のとき、非可約スキーム上の階級付き線形系列に対して、古典的上界 dim_k(L_n) < βn^{q(L)} は成立するか？
• RQ4 局所環 R にどのような条件を課すと、m_R-主な階級付きイデアル族 {I_n} に対して lim_{n→∞} ℓ_R(R/I_n)/n^d が存在するようになるか？
• RQ5 非可約スキーム上の階級付き線形系列が q(L) = -∞ をとるが、それでも n^d のオーダーで成長する可能性はあるか？

主な発見

• 完備体上の非可約射影的スキームに対しては、任意の算術的数列 a + br（r > 0）に沿って、lim_{n→∞} dim_k(L_n)/n^q が存在する。ここで q は Kodaira-Iitaka 次元である。
• 非可約スキームでは、「大きな」階級付き線形系列であっても、最大の Kodaira-Iitaka 次元 d を持つ場合でさえ、lim_{n→∞} dim_k(L_n)/n^d が算術的数列に沿っても極限を持たないことがある。
• 例6.3で、非可約かつ d 次元の射影的スキームと、dim_k(L_n)/n^d が極限を持たない階級付き線形系列の具体例が構成され、古典的多項式的成長定理の失敗が示された。
• 例7.1で、非可約局所環 R = k[[x_1,…,x_d,y]]/y^2 における m_R-主な階級付きイデアル族 {I_n} が与えられ、lim_{n→∞} ℓ_R(R/I_n)/n^d が算術的数列に沿っても極限を持たないことが示された。
• 本稿は、[3]の定理5.9における解析的非分岐性の仮定が必要であることを示しており、例7.1の反例により、非分岐でない場合に極限が存在しないことが確認された。
• 非可約スキームで q(L) ≥ 0 のとき、正の定数 α が存在し、すべての n に対して dim_k(L_{en}) > αn^{q(L)} が成り立つ。これは、Kodaira-Iitaka 次元の重要な性質がこの設定でも成立することを確認する。