[論文レビュー] The $b$-bibranching Problem: TDI System, Packing, and Discrete Convexity

Kenjiro Takazawa|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有向グラフにおける双分岐と $b$-分岐の一般化としての $b$-双分岐問題を導入し、全双対整数性を持つ線形計画問題と $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式を用いて、その多項式時間可解性を確立する。主な貢献は、互いに素な $b$-双分岐の最小最大化定理の確立であり、エドモンズの互いに素な分岐の定理を拡張し、$b$-双分岐多面体の整数分解性を証明することにある。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the $b$-bibranching problem in digraphs, which is a common generalization of the bibranching and $b$-branching problems. The bibranching problem, introduced by Schrijver (1982), is a common generalization of the branching and bipartite edge cover problems. Previous results on bibranchings include polynomial algorithms, a linear programming formulation with total dual integrality, a packing theorem, and an M-convex submodular flow formulation. The $b$-branching problem, recently introduced by Kakimura, Kamiyama, and Takazawa (2018), is a generalization of the branching problem admitting higher indegree, i.e., each vertex $v$ can have indegree at most $b(v)$. For $b$-branchings, a combinatorial algorithm, a linear programming formulation with total dual integrality, and a packing theorem for branchings are extended. A main contribution of this paper is to extend those previous results on bibranchings and $b$-branchings to $b$-bibranchings. That is, we present a linear programming formulation with total dual integrality, a packing theorem, and an M-convex submodular flow formulation for $b$-bibranchings. In particular, the linear program and M-convex submodular flow formulations respectively imply polynomial algorithms for finding a shortest $b$-bibranching.

研究の動機と目的

• 双分岐と $b$-分岐に関する既知の結果を統一的かつ拡張的に一つの枠組みに統合すること。
• 最短 $b$-双分岐問題に対して全双対整数性を持つ線形計画法を確立すること。
• 互いに素な $b$-双分岐のパッケージング定理を証明し、エドモンズの互いに素な分岐の定理を一般化すること。
• $b$-双分岐多面体の整数分解性を示すこと。
• 最短 $b$-双分岐問題に対して $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式を構築すること。

提案手法

• シュライヴァーによる双分岐の全双対整数性の証明を、一般化された双対変数の構成を用いて $b$-双分岐設定に拡張する。
• 一般化された多面体の性質を活用し、超モジュラス彩色定理を適用して、互いに素な $b$-双分岐のパッケージング定理を証明する。
• エドモンズの分岐の交換性質を拡張することで $b$-分岐の交換性質を確立し、$b$-分岐のパッケージング定理を用いる。
• 最短 $b$-分岐関数の離散凸性を証明し、線形計画法のベンデルス分解を用いて $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式を導出する。
• 頂点部分集合 $S$ および $T$ 上に定義された二つの $\mathrm{M}^\natural$-凸関数 $g_S$ と $g_T$ を定義し、それぞれが度制約下での最小重み $b$-分岐と $b$-双分岐を表す。
• 最短 $b$-双分岐問題を、流量変数の境界と境界流量の定義域制約を伴う $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双分岐の線形計画法の全双対整数性は、$b$-双分岐問題へ拡張可能か？
• RQ2 エドモンズの互いに素な分岐の定理を一般化する、互いに素な $b$-双分岐の最小最大化定理は存在するか？
• RQ3 $b$-双分岐に、双分岐の $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式を拡張可能か？
• RQ4 $b$-双分岐多面体は整数分解性を有するか？
• RQ5 離散凸性をどのように活用して、最短 $b$-双分岐問題の組合せ的多項式時間アルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 最短 $b$-双分岐問題の線形計画法が全双対整数性を有することを示し、楕円体法による多項式時間可解性が保証される。
• 互いに素な $b$-双分岐のパッケージング定理が確立され、双分岐および $b$-分岐のパッケージング定理を一般化する。
• $b$-双分岐多面体が整数分解性を有することを証明し、多面体組合せ論における重要な構造的結果が得られる。
• 最短 $b$-双分岐問題に対して $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式が導出され、組合せ的多項式時間アルゴリズムの実現が可能になる。
• 交換性質を用いて、最短 $b$-分岐関数の離散凸性が確立され、既知の最短分岐の離散凸性を拡張する。
• $\mathrm{M}^\natural$-凸な部分モジュラス流形式は、頂点部分集合上に定義された $\mathrm{M}^\natural$-凸関数 $g_S$ と $g_T$ を用いて構築され、目的関数は弧の重みと境界流量の関数値の和で構成される。