[論文レビュー] The basic geometry of Witt vectors, II: Spaces

James Borger|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p典型的およびビッグ・ウィット関手を一般化し、グローバル体の整数環上の任意の代数的空間へとウィットベクトルおよび算術ジェット空間の理論を拡張する。ウィット関手およびジェット関手がエタール写像や平坦性といった主要な幾何的性質を保存することを確立し、E-滑らかさの仮定の下で、共幽霊写像がアフィン的であり、Eの集合を除いては同型であることを証明する。

ABSTRACT

This is an account of the algebraic geometry of Witt vectors and arithmetic jet spaces. The usual, "p-typical" Witt vectors of p-adic schemes of finite type are already reasonably well understood. The main point here is to generalize this theory in two ways. We allow not just p-typical Witt vectors but those taken with respect to any set of primes in any ring of integers in any global field, for example. This includes the "big" Witt vectors. We also allow not just p-adic schemes of finite type but arbitrary algebraic spaces over the ring of integers in the global field. We give similar generalizations of Buium's formal arithmetic jet functor, which is dual to the Witt functor. We also give concrete geometric descriptions of Witt spaces and arithmetic jet spaces and investigate whether a number of standard geometric properties are preserved by these functors.

研究の動機と目的

• グローバル体の整数環上でのE典型的ウィット関手を、p典型的およびビッグ・ウィット関手の一般化として、任意の代数的空間へと拡張すること。
• アフィンスキームからすべてのグローバル基底上の代数的空間へ、双対的であるウィットおよび算術ジェット関手を拡張すること。
• エタール写像、平坦性、アフィン性といった標準的な幾何的性質が、これらの関手によって保存されるかどうかを調査すること。
• 一般化された設定におけるウィット空間および算術ジェット空間の具体的な幾何的記述を提供すること。
• 共幽霊写像がアフィン的または同型となる条件を特定すること、特に素数の集合Eから除いた部分において。

提案手法

• アフィンスキームからの関手のエタール・シェーヴ的拡張を用いて、任意の代数的空間へとウィット関手$W_{R,E,n}$を一般化する。
• グローバル・ヴェルディエの一般的手法を適用し、$W_n$およびその左随伴$Λ_n ⊙ -$を、関手$W_{n*}$および$W_n^*$を介して代数的空間の圏へと拡張する。
• ヴァン・デル・カラインの定理を用いて、$W_n$が$R$-代数のエタール写像を保存することを示し、拡張された関手がエタール位相を保つことを保証する。
• コロイミット構成$W_n^*(X) = ∙∙∙∙∙\operatorname{colim}_{U\to X} W_n(U)$を用いて、代数的空間上での左随伴を定義する。
• Y_U-空間の圏における終対象の性質を用いて、写像$W_{n+1*}(X) \to Z_X$を構成し、重要な同型結果を証明する。
• 分解$E = E' \amalg E''$を用いて一般ケースを単一素数ケースに還元し、(10.6.2)および(10.4.9)の関手的同型を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張された代数的空間上でのウィット関手$W_{n*}$は、エタール写像や平坦性といった幾何的性質を保存するか？
• RQ2 共幽霊写像$W_{n*}(X) \to X^{[0,n]}$がどのような条件下でアフィン的または同型となるか？
• RQ3 アフィンスキームから任意の代数的空間$R$上へ、$W_n$と$\Lambda_n \odot -$の随伴関係を拡張できるか？
• RQ4 $E$-滑らかな代数的空間$X$の$W_{n*}$像は、依然として$E$-平坦かつ${\mathfrak{m}}$-平坦か？
• RQ5 Eが複数の素数または1つの素数からなる場合、ウィット空間および算術ジェット空間の幾何はどのように振る舞うか？

主な発見

• 拡張されたウィット関手$W_{n*}$はエタール写像および被覆を保存し、代数的空間の圏上にうまく定義された自己関手を定義する。
• 左随伴$W_n^*$は、エタール被覆に関するコロイミットを用いて、アフィン構成$\operatorname{Spec}A \mapsto \operatorname{Spec}W_n(A)$を任意の代数的空間へと拡張する。
• E-滑らかであるとき、共幽霊写像$W_{n*}(X) \to X^{[0,n]}$はアフィン的であり、Eの集合を除いては同型である。
• $E$-滑らかな代数的空間の$W_{n*}$像は$E$-平坦かつ${\mathfrak{m}}$-平坦であり、良好な幾何的振る舞いを示す。
• 証明は、Eが単一の極大イデアルからなるケースに還元することに依存し、関手的分解および終対象の議論を用いる。
• 反例により、${\mathfrak{m}}$-平坦性の仮定が必要であることが示される：それがないと、$W_{n*}(X)$の像は$\operatorname{Spec}{\mathcal{O}}_S/{\mathfrak{m}}$の外側で稠密でなくなる可能性がある。