[論文レビュー] The Berry Phase for Simple Harmonic Oscillators

Sergeĭ K. Suslov|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準的な変数分離法では得られない、時間に依存する調和振動子の可積分な波動関数の族に対するベリー位相を評価する。最大可動不変性群と記号計算を用いて、初期パラメータに依存し、非自明なダイナミクスを示す初等関数による閉形式のベリー位相の式が導出された。この位相は一般の時間発展において量子数nに非自明な依存性を示し、形状を保つ場合にnに依存しなくなる。

ABSTRACT

We evaluate the Berry phase for a "missing" family of the square integrable wavefunctions for the linear harmonic oscillator, which cannot be derived by the separation of variables (in a natural way). Instead, it is obtained by the action of the maximal kinematical invariance group on the standard solutions. A simple closed formula for the phase (in terms of elementary functions) is found by integration with the help of a computer algebra system.

研究の動機と目的

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式の調和振動子に対する、標準的な変数分離法では得られない『欠落している』可積分な解の族のベリー位相を評価すること。
• これらの解が、標準解に対する最大可動不変性群の作用から自然に生じることを示すこと。
• コンピュータ代数システムを用いた記号的積分により、ベリー位相の閉形式解析的表現を提供すること。
• 初期パラメータに依存する位相の性質と、量子ダイナミクスへの影響、特にスリッピング状態やパラメトリック増幅との関連を確立すること。

提案手法

• 解は、シュレーディンガー群（最大可動不変性群）を用いて、標準的な調和振動子解に作用させることで構成される。
• 時間に依存する波動関数は、6パラメータの初期条件から導かれる時間に依存する係数を伴うエルミート多項式で表される。
• ベリー位相は、参考文献[41]の導関数公式を用いて計算され、位相関数α(t)、δ(t)、およびκ(t)の時間微分を含む。
• 記号的積分はMathematicaを用いて実行され、位相積分が閉形式で評価された。
• 得られた位相式は微分による検証と、ハミルトニアン期待値から導かれる別表現との照合により確認された。
• 伝統的なリー代数法の複雑さを回避するために、エルマコフ型系に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数分離法では到達できない、時間に依存する調和振動子の可積分な解の族に対するベリー位相は何か？
• RQ2 波動関数の初期パラメータα₀、β₀、δ₀、ε₀、γ₀がベリー位相にどのように依存するか？
• RQ3 位相は量子数nに非自明に依存するか？ どのような条件下でnに依存しなくなるか？
• RQ4 初等関数を用いた閉形式で位相を表現できるか？ また、ハミルトニアン期待値を含む別表現と比較するとどうなるか？
• RQ5 非定常媒質における量子揺らぎやパラメトリック増幅と関連して、位相の物理的意味は何か？

主な発見

• 閉形式のベリー位相が導出された：θₙ(t) = -(n+1/2)[arctan((2α₀ + (4α₀²+β₀⁴)tan t)/β₀²) - arctan(2α₀/β₀²) - t(4α₀²+β₀⁴+1)/(2β₀²)] + t[(2α₀ε₀ - β₀δ₀)² + ε₀²]/(2β₀²)，ただしθₙ(0) = 0。
• 標準解（α₀=β₀=1、他のパラメータは0）の場合、位相はθₙ(t) = 0に簡略化され、教科書の結果と整合することが確認された。
• 形状を保つ時間発展（α₀=0、β₀=1）では、位相はnに依存しなくなり、ダイナミクスの非自明な特徴となる。
• 導出された位相式は、ハミルトニアン期待値の時間積分に基づく別表現と等価であり、複数の手法による一貫性が確認された。
• 位相はtan tおよび逆正 tangent 項によって変調された振動的挙動を示し、波動関数のグローバル位相の非自明な時間発展を反映している。
• 解析的および計算的両面で結果が検証され、Mathematicaを用いたノートブックは著者ウェブサイトから入手可能である。