[論文レビュー] Dynamical Invariants and Berry's Phase for Generalized Driven Harmonic Oscillators

Barbara Sanborn, Sergeĭ K. Suslov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する二次ハミルトニアンを有する一般化された駆動付き調和振動子に対して、二次の動的保存量を導出し、ベリー位相を計算する。時間に依存するシュレーディンガー方程式を非線形座標変換により自己同型形式に変換することで、著者らは正確な波動関数を構成し、エルマコフ型系を用いてベリー位相を評価し、時間に依存する係数と動的変数に依存する閉形式の式を得た。

ABSTRACT

We present quadratic dynamical invariant and evaluate Berry's phase for the time-dependent Schroedinger equation with the most general variable quadratic Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式に一般の変数二次ハミルトニアンを有する場合の二次動的保存量を導出すること。
• このような系におけるベリー幾何位相を評価し、従来の駆動付き調和振動子に関する結果を拡張すること。
• Ermakov型系と非線形変換を用いて、異なるパrameter領域にわたる解を統一する体系的な枠組みを確立すること。
• 動的保存量とベリー位相が、下位のSU(1,1)代数的構造と両生状態表現にどのように関連しているかを明らかにすること。
• Ermakov系から導かれる時間に依存する係数と動的変数を用いて、ベリー位相の閉形式の式を導出すること。

提案手法

• 非自己同型シュレーディンガー方程式を非線形変換 (2.3) により自己同型形式 (2.4) に写像し、標準的な調和振動子方程式に還元する。
• 変換の有効性を保証するため、時間に依存するパrameter α(t), β(t), γ(t), δ(t), ε(t), κ(t) をErmakov型系 (2.5)–(2.10) を用いて決定する。
• 変換された変数とエルミート多項式を用いて、正確な波動関数 (2.14) を構成し、c₀ = 0 および c₀ = 1 の両ケースに有効であることを示す。
• 生成・消滅演算子を用いてハミルトニアンを表現する (3.2)–(3.3) ことにより、SU(1,1)代数的手法の適用を可能にする。
• 位置と運動量演算子の二次形式として、ハミルトニアンと可換である保存量を特定することで、動的保存量を導出する。
• エネルギー固有状態基底におけるハミルトニアンの期待値を用いて、時間微分による動的位相の積分によりベリー位相を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された駆動付き調和振動子に時間に依存する二次ハミルトニアンを有する場合、二次の動的保存量を体系的にどのように導出できるか？
• RQ2 このような系におけるベリー幾何位相の明示的形は何か？また、時間に依存するパrameterにどのように依存するか？
• RQ3 Ermakov型系 (2.5)–(2.10) は、正確な波動関数の構成と幾何位相の評価をどのように支援するか？
• RQ4 これらの系におけるSU(1,1)代数的構造は、動的保存量とベリー位相の背後にある根拠として、どのように関与しているか？
• RQ5 時間に依存する係数と動的変数のみを用いて、特定の解路に依存しない閉形式の幾何位相を表現できるか？

主な発見

• 位置、運動量、およびそれらの対称積を含むエルミート演算子としての二次動的保存量が導出され、時間に依存するハミルトニアンと可換であることが示された。
• ベリー位相は、エネルギー固有状態基底におけるハミルトニアンの期待値の時間積分として計算され、時間に依存する係数に依存する閉形式の式 (5.1) を得た。
• ベリー位相の式 (5.1) は、異なる導出経路からも一貫しており、パラメータ α(t), β(t), δ(t), ε(t) および時間に依存する係数 a(t), b(t), c(t), d(t), f(t), g(t) に明示的に依存している。
• 動的保存量とベリー位相がSU(1,1)代数的構造に対して不変であることが示され、幾何位相が系の群論的性質と関連していることが明らかになった。
• 波動関数 (2.14) は、時間に依存する位相と幅パラメータを含む、時間に依存するシュレーディンガー方程式の正確な解であり、エルミート多項式で表現されている。
• Ermakov型系 (2.5)–(2.10) は変換の完全なパラメータ化を提供し、実数値の時間に依存する係数に対して正確な解の存在を保証する。