[論文レビュー] The birational geometry of irregular Higgs bundles

Szilárd Szabó|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不規則部分が半単純である安定不規則ヒッグスバンドルのモジュライ空間と、繰り返しのブ lows-upによって得られるルールド表面の族上のねじれのない層の相対ピカードバンドルの間のポアソン同型を確立する。これは、ベオヴィル–ナラシマン–ラマナンの対応を不規則なパラボリック設定に一般化したものであり、滑らかなスペクトル曲線がブロー・アップ構成における滑らかな曲線族に対応し、両側で整合性のあるポアソン構造を持つことを示している。

ABSTRACT

We give a variant of the Beauville--Narasimhan--Ramanan correspondence for irregular parabolic Higgs bundles with semi-simple irregular part and show that it defines a Poisson isomorphism between certain irregular Dolbeault moduli spaces of a curve and relative Picard bundles of families of ruled surfaces over a curve.

研究の動機と目的

• 不規則なパラボリックヒッグスバンドル（不規則部分が半単純）へのベオヴィル–ナラシマン–ラマナン対応の拡張を図ること。
• 不規則特異点における非可約0次元部分スキームが引き起こす幾何的困難を繰り返しのブロー・アップにより解決すること。
• 安定不規則ヒッグスバンドルのモジュライ空間と、ルールド表面の族上のねじれのない層の相対ピカードバンドルとの間のポアソン同型を確立すること。
• スペクトル曲線が滑らかである稠密な開部分集合において、この同型が成り立つことを確認すること。
• 両側の自然なポアソン構造が一致することを確認し、半単純の場合にコンテフチッチとソイベルマンの予想8.6.1(1)と整合することを示すこと。

提案手法

• 不規則特異点上の非可約0次元部分スキームに沿った繰り返しのブロー・アップにより、族 $\widetilde{\mathcal{Z}} \to \mathbb{C}^{r\sum_i (m_i+1)}$ を構成する。
• スペクトルデータとして、$\widetilde{\mathcal{Z}}$ 内の曲線上の階数1のねじれのない層を定義し、その次数は $d = \delta + \frac{r(r-1)}{2}\deg(L)$ である。ここで $L = K_C(D)$ である。
• スペクトル曲線をパラメトライズするために、$\widetilde{\mathcal{Z}}$ 内の曲線の相対ヒルベルトスキームを用い、$D_{\operatorname{red}}$ 上での滑らかさ条件を課す。
• スペクトル曲線族からの余接バンドルのプッシュフォワードを用いて、相対ピカードバンドルにポアソン2次反変ベクトル場 $\Pi_{\operatorname{Pic}}$ を導入する。
• 相対ピカードバンドル上のポアソン構造が、スペクトル対応を通じてドルベオー・モジュライ空間に引き戻されることを示す。
• スペクトル曲線が $D_{\operatorname{red}}$ 上で滑らかかつ分岐していない稠密な開部分集合において、安定ヒッグスバンドルのモジュライ空間と相対ピカードバンドルとの間の同型がポアソン同型であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベオヴィル–ナラシマン–ラマナン対応は、不規則部分が半単純である不規則なパラボリックヒッグスバンドルへ拡張可能か？
• RQ2 不規則特異点における非可約0次元部分スキームを考慮するには、スペクトル対応をどのように修正すべきか？
• RQ3 得られる対応が、不規則ヒッグスバンドルのモジュライ空間とねじれのない層の相対ピカードバンドルとの間でポアソン同型を誘導するか？
• RQ4 スペクトル曲線の滑らかさとブロー・アップ構成の幾何学的性質との正確な関係は何か？
• RQ5 スペクトル対応を通じて、不規則ヒッグスバンドルのモジュライ空間上のポアソン構造が、相対ピカードバンドル上のものと同型であるか？

主な発見

• 本稿は、繰り返しのブロー・アップによって得られるルールド表面の族上のねじれのない層の相対ピカードバンドルと、不規則部分が半単純である安定不規則ヒッグスバンドルのモジュライ空間との間のポアソン同型を構成する。
• この同型は、スペクトル曲線が $D_{\operatorname{red}}$ 上で滑らかでかつ分岐していない稠密な開部分集合で成り立つ。
• スペクトル曲線上のラインバンドルの次数 $d$ は、$d = \delta + \frac{r(r-1)}{2}\deg(L)$ で与えられ、ここで $L = K_C(D)$ であり、$\delta$ は註5.1で定義される。
• スペクトル曲線が整関数であるという仮定の下で、この対応はカテゴリの同値性をもたらし、BNR対応を不規則パラボリックの場合に拡張する。
• 両側のポアソン構造は整合的である：ドルベオー側のシンプレクティック葉は、スペクトル構成を通じてピカード側のシンプレクティック葉に対応する。
• この結果は、コンテフチッチとソイベルマンの予想8.6.1の1)部分を半単純の場合に確認し、対応の完全な幾何的実現を提供する。