[論文レビュー] The Borel complexity of von Neumann equivalence

Inessa Epstein, Asger Törnquist|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可算離散群 Γ が非可換自由群 Fn (2 ≤ n ≤ ∞) を正規部分群として含む場合、Γ の弱混合でほとんど everywhere 自由な確率測度保存作用に関する共役、軌道同値、およびフォン・ノイマン同値関係が、解析的ではあるが Borel ではないことを確立している。これは、型 II₁、II∞、IIIλ の分離可能な作用をもつ因子の同型関係が、エフロス Borel 構造のもとで解析的かつ Borel でないことも示唆しており、エルゴディック理論および作用素代数における長年の複雑性に関する問いに解決をもたらす。

ABSTRACT

We prove that for a countable discrete group $Γ$ containing a copy of the free group $\F_n$, for some $2\leq n\leq\infty$, as a normal subgroup, the equivalence relations of conjugacy, orbit equivalence and von Neumann equivalence of the ergodic a.e. free actions of $Γ$ are analytic non-Borel equivalence relations in the Polish space of probability measure preserving $Γ$ actions. As a consequence we obtain that the isomorphism relation in the spaces of separably acting factors of type $\II_1$, $\II_\infty$ and $\III_λ$, $0\leqλ\leq 1$, are analytic and not Borel when these spaces are given the Effros Borel structure.

研究の動機と目的

• 可算離散群 Γ の弱混合でほとんど everywhere 自由な確率測度保存（p.m.p.）作用に関する共役、軌道同値、およびフォン・ノイマン同値関係の Borel 複雑性を特定すること。
• これらの同値関係が Borel であるか解析的であるか、解析的である場合にそれが完全解析的であるかという基礎的問いに答えること。
• エフロス Borel 構造のもとでの型 II₁、II∞、IIIλ 因子の空間における同型関係の複雑性に関する結果を拡張すること。
• エルゴディック理論およびフォン・ノイマン代数論における分類問題の論理的および記述的集合論的複雑性を体系的に分析すること。

提案手法

• Γ に非可換自由群 Fn (2 ≤ n ≤ ∞) が正規部分群として存在することを用い、木（TFA）上の完全解析的同値関係から、p.m.p. 作用上の同値関係への Borel 減少を構成する。
• 各木に対して Γ の弱混合でほとんど everywhere 自由な p.m.p. 作用を割り当てる Borel 写像 h: TFA → A*_{wm}(Γ,X,μ) を用いる。
• 文献 [17] の結果を適用し、関連する群-測度空間フォン・ノイマン代数が HT-因子であることを保証し、これらの代数の同型が元の同値関係と正確に一致することを保証する。
• Borel 可算対一減少量技術を用いて、TFA 同型関係の完全性を、型 II∞ および IIIλ 因子の同型関係へと移す。
• 分離可能なヒルベルト空間上に作用するフォン・ノイマン代数の空間におけるエフロス Borel 構造を活用し、同型関係が Borel 可測であることを保証する。
• 2つの群-測度空間代数が同型であるならば、それらに関連する作用がフォン・ノイマン同値であるし、逆にその場合も成り立つ、という事実を、与えられた条件下で適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算離散群 Γ の弱混合でほとんど everywhere 自由な p.m.p. 作用に関する共役関係は、解析的か Borel か？
• RQ2 Γ が非可換自由群を正規部分群として含む場合、そのような作用における軌道同値およびフォン・ノイマン同値関係は、解析的であり、かつ Borel でないか？
• RQ3 エフロス Borel 構造のもとで、分離可能な作用をもつ型 II₁、II∞、IIIλ 因子の同型関係の Borel 複雑性は何か？
• RQ4 ZFC において追加の集合論的仮定なしに、共役関係の完全性を確立できるか？
• RQ5 これらの同値関係の複雑性は、すべての非可換可算離散群にわたって保持されるか？

主な発見

• 可算離散群 Γ が非可換自由群 Fn (2 ≤ n ≤ ∞) を正規部分群として含む限り、弱混合でほとんど everywhere 自由な p.m.p. 作用上の共役関係は完全解析的であり、したがって Borel ではない。
• 同様に、そのような作用における軌道同値およびフォン・ノイマン同値関係も解析的であり、Borel でないことが、木上の完全解析的関係への Borel 減少によって示された。
• 分離可能な作用をもつ型 II₁ 因子の同型関係は、解析的であり、かつ Borel でない。これは、以前の結果をより広い因子のクラスへと拡張したものである。
• 型 II∞ および型 IIIλ 因子（0 ≤ λ ≤ 1）の同型関係についても、TFA 同型関係からの Borel 可算対一減少量の構築によって、解析的であり、かつ Borel でないことが示された。
• 0♯ が存在するか、または可測基数が存在するという仮定のもとで、解析的非 Borel 関係は完全解析的となるが、本稿では、すべての非可換群に対して ZFC においても同様の結果が成り立つと予想している。
• これらの結果により、広範なクラスの群および因子について、エルゴディック理論および作用素代数における分類問題の Borel 複雑性が解消され、これらの設定では Borel 分類が不可能であることが示された。