[論文レビュー] The Boundary value problems for second order elliptic operators satisfying a Carleson condition

Martin Dindoš, Jill Pipher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

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ひとこと要約

本稿は、リプシッツ領域でリプシッツ定数が小さい場合、係数が小さなカルレソンノルムを有するカルレソン条件を満たす第二順階の発散型楕円型作用素に対して、$H^{1,p}(\bar{\partial}\Omega)$ におけるデータを用いたディリクレ正則性問題と $L^p(\partial\Omega)$ におけるデータを用いたノイマン問題の可解性を確立する。係数は粗いが制御された振動を示し、結果はすべての $1 < p < \infty$ に対して成り立ち、以前の $L^p$ ディリクレ問題に関する研究を完成させ、非対称かつ非発散型の作用素に対しても高次元への可解性を拡張する。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a Lipschitz domain in $\mathbb R^n$ $n\geq 2,$ and $L=\mbox{div} (A abla\cdot)$ be a second order elliptic operator in divergence form. We establish solvability of the Dirichlet regularity problem with boundary data in $H^{1,p}(\partialΩ)$ and of the Neumann problem with $L^p(\partialΩ)$ data for the operator $L$ on Lipschitz domains with small Lipschitz constant. We allow the coefficients of the operator $L$ to be rough obeying a certain Carleson condition with small norm. These results complete the results of [5] where $L^p(\partialΩ)$ Dirichlet problem was considered under the same assumptions and [6] where the regularity and Neumann problems were considered on two dimensional domains.

研究の動機と目的

• 非対称で発散型の楕円型作用素に対して、係数の正則性仮定を最小限に抑えた境界値問題の可解性を拡張すること。
• リプシッツ定数が小さいリプシッツ領域において、すべての $1 < p < \infty$ に対して $H^{1,p}(\bar{\partial}\Omega)$ データを用いたディリクレ正則性問題の可解性を確立すること。
• 同じ条件下で $L^p(\partial\Omega)$ データを用いたノイマン問題の可解性を証明し、両問題の $p$ の全範囲を完成させること。
• 2次元における $L^p$ ディリクレ問題およびノイマン問題に関する先行研究を統合・一般化し、高次元へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、係数の振動にカルレソン条件を適用し、$ d\mu = \delta(X)^{-1} (\text{osc}_{B(X,\delta(X)/2)} a_{ij})^2 dX $ で定義される測度を用いる。この測度のカルレソンノルムは小さいものとする。
• 層間ポテンシャル法と最大関数の推定を用い、領域のリプシッツ定数の小ささと係数の振動のカルレソンノルムの小ささに依存する。
• 第二順階の係数の微分を扱うために、接方向への部分積分を用いる重要な技術が用いられ、高階の項を低階の項に還元する。
• 点での $|\nabla u|$ の推定に基づくブートストラップ法が用いられ、これは係数の $|\nabla A|$ に対するカルレソン条件から導かれる。
• ノイマン問題は、$H^1$ 空間におけるラックス＝ミルグラムの定理を用いて解析され、その後、非接点的最大関数推定と内部における減衰制御が行われる。
• 滑らかな領域からリプシッツ領域への適用は、局所化と平坦化技術を用いて適応され、リプシッツ定数の小ささが一様な制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界上でカルレソン条件を満たす粗い係数を有する非対称で発散型の楕円型作用素に対して、$H^{1,p}$ データを用いたディリクレ正則性問題は、リプシッツ定数が小さい領域で可解か？
• RQ2 同じクラスの作用素と領域に対して、すべての $1 < p < \infty$ に対して $L^p$ データを用いたノイマン問題は可解か？
• RQ3 係数が小さなカルレソンノルムを有するカルレソン条件を満たす場合、非対称性が存在しても、ノイマン問題の可解性は高次元へと拡張可能か？
• RQ4 領域のリプシッツ定数の小ささと係数の振動のカルレソンノルムが、可解性を保証するためにどのように作用するか？
• RQ5 2次元における結果を、係数の正則性仮定を最小限に抑えた状態で、任意の次元へ一般化可能か？

主な発見

• リプシッツ定数が十分に小さいリプシッツ領域において、すべての $1 < p < \infty$ に対して $H^{1,p}(\bar{\partial}\Omega)$ データを用いたディリクレ正則性問題は可解である。
• 同じ仮定のもとで、$L^p(\partial\Omega)$ データを用いたノイマン問題もすべての $1 < p < \infty$ に対して可解であり、一様推定式 $\|N(\nabla u)\|_{L^p(\partial\Omega)} \leq C\|f\|_{L^p(\partial\Omega)}$ が成り立つ。
• 測度 $ d\mu = \delta(X)^{-1} (\text{osc}_{B(X,\delta(X)/2)} a_{ij})^2 dX $ が小さなノルムのカルレソン測度であるという仮定のもとで、結果が成り立つ。
• 発散型作用素の $L^p$ 可解性計画を完成させ、正則性問題およびノイマン問題の両方の $p$ の全範囲を拡張した。
• ノイマン問題の可解性が、領域および係数の小さな摂動に対しても、非対称な設定であっても安定であることが証明された。
• この手法は、リプシッツ定数が小さい滑らかでない領域に対しても一様に適用可能であり、$\ell$ および $\|\mu\|_{\text{Carl},r_0}$ の小さな仮定のもとで推定値が安定である。