[論文レビュー] The BR1 Scheme is Stable for the Compressible Navier-Stokes Equations

Gregor J. Gassner, Andrew R. Winters+2 more|Kölner Universitäts PublikationsServer (Universität zu Köln)|Apr 12, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散的メトリック恒等式の満たし方、メトリック項のための2点平均、対流フラックスのためのエントロピー保存型分割形式、エントロピー変数に基づく粘性勾配、およびBR1界面フラックスを組み合わせることで、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対するBR1スキームが、証明可能な安定性を示すことを証明している。このスキームは、内部面に人工的拡散を導入せずに、3次元曲線メッシュ上でもエネルギーまたはエントロピー安定性を達成する。

ABSTRACT

We show how to modify the original Bassi and Rebay scheme (BR1) [F. Bassi and S. Rebay, A High Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations, Journal of Computational Physics, 131:267--279, 1997] to get a provably stable discontinuous Galerkin collocation spectral element method (DGSEM) with Gauss-Lobatto (GL) nodes for the compressible Navier-Stokes equations (NSE) on three dimensional curvilinear meshes. Specifically, we show that the BR1 scheme can be provably stable if the metric identities are discretely satisfied, a two-point average for the metric terms is used for the contravariant fluxes in the volume, an entropy conserving split form is used for the advective volume integrals, the auxiliary gradients for the viscous terms are computed from gradients of entropy variables, and the BR1 scheme is used for the interface fluxes. Our analysis shows that even with three dimensional curvilinear grids, the BR1 fluxes do not add artificial dissipation at the interior element faces. Thus, the BR1 interface fluxes preserve the stability of the discretization of the advection terms and we get either energy stability or entropy-stability for the linear or nonlinear compressible NSE, respectively.

研究の動機と目的

• 3次元における圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対するBR1スキームの証明可能な安定性を確立すること。
• シミュレーションで広く使用されているにもかかわらず、長年の不安定性に関する懸念を解消すること。
• エネルギーまたはエントロピー安定性を達成するために必要な最小限の修正を同定すること。
• 適切に定式化された場合、BR1スキームが内部要素面に人工的拡散を導入しないことを実証すること。
• 複雑な曲線メッシュに対して安定で、パラメータを必要としないDGSEMフレームワークを、ガウス＝ロバチの節点を用いて提供すること。

提案手法

• ガウス＝ロバチの節点と一貫したメトリック再構成を用いて、離散的にメトリック恒等式を満たす。
• 体積積分における反変フラックスのための2点平均を適用して、一貫性を維持する。
• 保存性を保つために、対流フラックスにエントロピー保存型分割形式を適用する。
• 安定性を確保するために、粘性項の補助勾配をエントロピー変数から計算する。
• 界面での簡素さと一貫性を保つために、BR1数値フラックスを採用する。
• 和分による部分積分（SBP）構造を通じて、離散的弱形式がエントロピーまたはエネルギー安定性条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BR1スキームは、3次元曲線グリッド上での圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、証明可能な安定性を示せるか？
• RQ2 BR1フレームワークでエネルギーまたはエントロピー安定性を確保するために、どのような修正が必要か？
• RQ3 BR1スキームは内部要素面に人工的拡散を導入するか？
• RQ4 保存性と安定性を保つために、メトリック恒等式をどのように離散的に満たせるか？
• RQ5 対流優勢な流れに対して、BR1スキームは明示的時間積分法でも安定か？

主な発見

• メトリック恒等式が離散的に満たされれば、BR1スキームは圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して証明可能な安定性を示す。
• 非線形方程式に対してはエントロピー安定性を達成し、線形化された方程式に対してはエネルギー安定性を達成する。
• 内部要素面に人工的拡散が導入されず、解像スケールに対する低拡散性が保たれる。
• この方法はパラメータフリーであり、ペナルティパラメータや追加のチューニングを必要としない。
• ガウス＝ロバチの節点を用いた3次元曲線六面体要素に対しても、安定性結果は成り立つ。
• 解析により、エントロピー保存型分割形式と一貫したメトリック近似と組み合わせたBR1界面フラックスが、安定性を保つことが確認された。