[論文レビュー] The Brauer-Picard groups of the fusion categories coming from the $ADE$ subfactors

Cain Edie-Michell|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ADE部分因子とそのガロア共役から生じる融合カテゴリのブラウアー・ピカード群を、そのドリンフェルト中心のbraided自己同型の分析により計算している。平面代数の表現と組合せ的技法を用いて、これらの群の完全な構造を同定し、主な結果としてD10部分因子の偶数部のブラウアー・ピカード群がS3 × S3に同型であることを示している。

ABSTRACT

We compute the group of Morita auto-equivalences of the even parts of the $ADE$ subfactors, and Galois conjugates. To achieve this we study the braided auto-equivalences of the Drinfeld centres of these categories. We give planar algebra presentations for each of these Drinfeld centres, which we leverage to obtain information about the braided auto-equivalences of the corresponding categories. We also perform the same calculations for the fusion categories constructed from the full $ADE$ subfactors. Of particular interest, the even part of the $D_{10}$ subfactor is shown to have Brauer-Picard group $S_3 imes S_3$. We develop combinatorial arguments to compute the underlying algebra objects of these invertible bimodules.

研究の動機と目的

• ADE部分因子の偶数部とそのガロア共役のブラウアー・ピカード群を計算すること。
• ドリンフェルト中心のbraided自己同型を用いてモライト自己同型を計算する方法を確立すること。
• ADE融合カテゴリのドリンフェルト中心のための平面代数表現を提供すること。
• 組合せ的技法を用いて、可逆な双モジュラとその背後に存在する代数的対象の構造を同定すること。
• フロベニウス・ペルン・ディメンションが2未塔の対象によって生成される融合カテゴリの分類を拡張し、モリソンとシンズの予想に基づくものとする。

提案手法

• BrPic(C) ≅ Autbr(Z(C)) の同型を活用し、ドリンフェルト中心のbraided自己同型を用いてブラウアー・ピカード群を計算する。
• 平面代数の表現を用いて、ADE融合カテゴリのドリンフェルト中心とそのbraided構造をモデル化する。
• 平面代数の自己同型を適用し、ピvォタルおよびbraided自己同型を計算するが、主に函手間の自然同型に注目する。
• 誘導行列と結合則を用いて、随伴部分カテゴリ上の可逆双モジュラの群構造を同定する。
• 組合せ的議論を用いて、特にD10とA7に対して、テンソルカテゴリ内の代数的対象を分類する。
• 自然同型を通じて、平面代数の自己同型と基底付きピvォタル自己同型の間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D10部分因子の偶数部のブラウアー・ピカード群の構造は何か？
• RQ2 ドリンフェルト中心のbraided自己同型は、元の融合カテゴリのモライト自己同型とどのように関係するか？
• RQ3 平面代数の自己同型は、ADE融合カテゴリの自己同型を計算する際に果たす役割は何か？
• RQ4 ガロア共役とモジュラー・ブレード構造は、ブラウアー・ピカード群の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 随伴部分カテゴリ内のどの代数的対象が可逆双モジュラを生成し、そのような構造はいくつ存在するか？

主な発見

• D10部分因子の偶数部のブラウアー・ピカード群はS3 × S3に同型である。
• A7融合カテゴリの随伴部分カテゴリのブラウアー・ピカード群はZ/2Zに同型である。
• N=5のときD2Nの偶数部のブラウアー・ピカード群はS3であるが、N≠5のときZ/2Zである。
• D10の偶数部のドリンフェルト中心には6つの可逆双モジュラが存在し、それらは1, 1⊕f(2), 1⊕P, 1⊕Q, および1⊕f(6)という代数的対象から生じるが、2種類の異なる代数的構造を持つ。
• Autbr(Z(Ad(A7)))はD2⋅4に同型であり、Ad(A7)の単純対象を用いた誘導行列によって可逆双モジュラの群構造が同定されている。
• 平面代数の自己同型群は、関連するカテゴリの基底付きピvォタル自己同型の群と自然同型を除いて同型である。