[論文レビュー] The Broken Ray Transform in $n$ Dimensions

Mark Hubenthal|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2013

Numerical methods in inverse problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平坦な反射境界を持つn次元ユークリッド領域における破れた光線変換の単射性と安定性を確立する。測定を固定された平坦な超平面の列に反射する破れた光線に局在化し、局所的パス展開技術を適用することにより、著者らは正規化作用素が、$C_0^\ty$ スワーツ核をもつ、順序-1の古典的擬微分作用素と滑らか化項の和であることを示した。

ABSTRACT

We study the broken ray transform on $n$-dimensional Euclidean domains where the reflecting parts of the boundary are flat and establish injectivity and stability under certain conditions. Given a subset $E$ of the boundary $\partial \Omega$ such that $\partial \Omega \setminus E$ is itself flat (contained in a union of hyperplanes), we measure the attenuation of all broken rays starting and ending at $E$ with the standard optical reflection rule applied to $\partial \Omega \setminus E$. By localizing the measurement operator around broken rays which reflect off a fixed sequence of flat hyperplanes, we can apply the analytic microlocal approach of Frigyik, Stefanov, and Uhlmann for the ordinary ray transform by means of a local path unfolding. This generalizes the author's previous result for the square, although we can no longer treat reflections from corner points. Similar to the result for the two dimensional square, we show that the normal operator is a classical pseudo differential operator of order -1 plus a smoothing term with $C_{0}^{\infty}$ Schwartz kernel.

研究の動機と目的

• 平坦な反射境界を持つn次元ユークリッド領域における破れた光線変換の単射性と安定性を確立すること。
• 正方形における既存の結果を、平坦な反射超平面を有する高次元に一般化すること。
• フリギヤイク、ステファノフ、ウルマンの解析的微局所的アプローチを、n次元における破れた光線設定に拡張すること。
• 擬微分作用素と滑らか化項の観点から正規化作用素の構造を分析すること。

提案手法

• 測定作用素を、境界における固定された平坦な超平面の列に反射する破れた光線の周囲に局在化する。
• 局所的パス展開技術を用いて、破れた光線問題を等価な通常の光線変換問題に還元する。
• この展開を通じて、フリギヤイク、ステファノフ、ウルマンの解析的微局所的枠組みを破れた光線設定に適応する。
• 微局所的手法を用いて正規化作用素を分析し、それが順序-1の古典的擬微分作用素と滑らか化項に分解されることを示す。
• 滑らか化項が$C_0^\ty$ スワーツ核をもつことが示され、正則性の性質が保証される。
• コーナー反射を扱わないアプローチを採用し、非コーナーで平坦な反射列に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な反射境界を持つn次元ユークリッド領域における破れた光線変換が、どのような条件下で単射的か。
• RQ2 破れた光線変換の正規化作用素は、その作用素クラスと核構造に関してどのように振る舞うか。
• RQ3 通常の光線変換に用いられる微局所的手法を、パス展開を介して破れた光線の場合に拡張可能か。
• RQ4 破れた光線設定における正規化作用素の正確な正則性および擬微分構造は何か。
• RQ5 反射境界に平坦な超平面が存在する場合、変換の安定性および単射性にどのような影響を与えるか。

主な発見

• 与えられた幾何的および境界条件のもとで、破れた光線変換は単射的である。
• 正規化作用素が、順序-1の古典的擬微分作用素と$C_0^\ty$ スワーツ核をもつ滑らか化項の和であることが示された。
• 同じ条件下で、安定性推定が確立された。
• この手法により、2次元の正方形における結果が高次元に成功裏に一般化された。
• コーナー点は解析から除外されており、パス展開技術がこのような特異点に適用できないためである。
• 正規化作用素の構造は、微局所的観点から変換の正則化性が保たれていることを確認した。