[論文レビュー] The Brownian Frame Process as a Rough Path

Benjamin A. Hoff|ArXiv.org|Feb 1, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動から導かれる経路値確率過程としてのブラウンフレーム過程を、粗いパスの観点から検討し、$p$-バージョンおよびsupノルムの下でその有限な$\acute{p}$-バージョンを確立する。主な貢献は、単射テンソル積空間におけるリーヴィ面積が存在しないことを証明することであり、これは標準的な粗いパスの持ち上げが不可能であることを意味する。一方で、2進三角形上では面積過程の連続修正が存在し、対角線上でジャンプ不連続性を示す。

ABSTRACT

We introduce the (path-valued) Brownian frame process whose evaluation at time t is the sample path of the underlying Brownian motion run from time t-1 to t. Due to its connections with Gaussian Volterra processes and SDDEs this is an interesting object to study. The first part deals with path-wise properties of the Brownian frame process in the p-variation norm. The second part shows the non-existence of a Levy area random variable in a particular norm, revealing the difficulty in establishing a Rough Path integration theory for the Brownian Frame process.

研究の動機と目的

• ブラウンフレーム過程$\mathcal{T}^B$が関数空間内での経路値確率過程としての存在および正則性を確立すること。
• ブラウンフレーム過程$\mathcal{T}^B$の2進多角形近似の$p$-バージョンおよびsupノルム位相における収束を分析すること。
• 連続経路空間の単射テンソル積空間におけるブラウンフレーム過程$\mathcal{T}^B$のリーヴィ面積の存在を調査すること。これは粗いパス統合の必要性に起因する。
• $\mathcal{T}^B$の異なる時刻における評価間の$p$-バージョン距離の尾確率推定を導出すること。
• 2進三角形上での面積過程の振る舞いを踏まえ、全単位正方形$[0,1]^2$への連続拡張が存在するかどうかを同定すること。

提案手法

• ブラウン運動$B$を$[-1,1]$上で定義し、$t \in [0,1]$に対して$\mathcal{T}_t^B := (B_{t-1+u})_{0 \leq u \leq 1}$と定義する。
• $\mathcal{T}^B$がsupノルムおよび$p > 2$に対する$p$-バージョンノルムを備えた連続経路空間$C([0,1])$に属することを確立する。
• $\mathcal{T}^B$がsupノルムの下で$\acute{p} > 2$、$p$-バージョンノルムの下で$\acute{p} > \frac{2p}{p-2}$に対して有限な$\acute{p}$-バージョンを持つことを証明する。
• ボレルの不等式を適用し、$\|\mathcal{S}_{h_2}^{B,p} - \mathcal{S}_{h_1}^{B,p}\|_p$がしきい値を超える確率の尾確率推定を得る。
• コルモゴロフの連続性定理を用いて、2進上三角形上でのリーヴィ面積過程の連続修正$\mathcal{A}_{0,1}^*\left(\mathcal{T}^B\right)$を構成する。
• 任意の連続拡張$\bar{\mathcal{A}}_{0,1}$が全単位正方形に存在するならば、対角線上で0にならなければならないが、これは$\mathcal{A}_{0,1}^*$の非ゼロのジャンプ不連続性と矛盾する。これにより、単射テンソル積空間内でのリーヴィ面積の非存在が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウンフレーム過程$\mathcal{T}^B$は、$p$-バージョンおよびsupノルム位相の下で有限な$\acute{p}$-バージョンを持つか？
• RQ2 $\mathcal{T}^B$のリーヴィ面積は、連続経路空間の単射テンソル積空間$C([0,1]) \otimes_\vee C([0,1])$内での確率変数として定義可能か？
• RQ3 リーヴィ面積過程は全単位正方形$[0,1]^2$に連続拡張可能か？
• RQ4 異なる時刻におけるフレーム過程の評価間の$p$-バージョン距離の尾挙動はいかなるものか？
• RQ5 リーヴィ面積過程は対角線上で不連続性を示すか？その意味は何か？

主な発見

• ブラウンフレーム過程$\mathcal{T}^B$は、supノルム位相の下で$\acute{p} > 2$に対して有限な$\acute{p}$-バージョンを持つ。
• $p > 2$に対する$p$-バージョンノルムの下では、$\mathcal{T}^B$は$\acute{p} > \frac{2p}{p-2}$に対して有限な$\acute{p}$-バージョンを持つ。
• ボレルの不等式に基づき、$p$-バージョン距離が大きい確率の尾確率推定が得られ、指数的に減少することが示された。
• リーヴィ面積過程$\mathcal{A}_{0,1}(\mathcal{T}^B)$は、2進上三角形上で連続修正$\mathcal{A}_{0,1}^*(\mathcal{T}^B)$を有する。
• 連続修正$\mathcal{A}_{0,1}^*(\mathcal{T}^B)$は対角線上でジャンプ不連続性を示し、左極限と右極限の差の絶対値が1に等しい。
• 全単位正方形への連続拡張$\bar{\mathcal{A}}_{0,1}$は存在しえず、これは$\mathcal{A}_{0,1}^*$のジャンプ不連続性と矛盾する。これにより、単射テンソル積空間内でのリーヴィ面積の非存在が証明された。