[論文レビュー] Infinity-Inner-Products on A-Infinity-Algebras

Thomas Tradler|ArXiv.org|Aug 3, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、A-infinity代数からその双対へのA-infinity双モジュール写像としての無限大内積を導入し、Poincaré双対性のホモトピー的構造を符号化するグラフ複体を構成する。主な貢献は、A-infinity代数と$∞$-内積を備えたものから、Hochschildコホモロジー上のBV代数構造への枠組みのリンクを確立することであり、ホモトピー論的技法を用いて、コンパクト多様体のチェインレベルにおけるPoincaré双対性を実現する。

ABSTRACT

In this paper the Hochschild-cochain-complex of an A-infinity-algebra A with values in an A-infinity-bimodule M over A and maps between them is defined. Then, an infinity-inner-product on A is defined to be an A-infinity-bimodule-map between A and its dual A*. There is a graph-complex associated to A-infinity-algebras with infinity-inner-product.

研究の動機と目的

• A-infinity代数における内積のホモトピー的一般化を、A-infinity双モジュール写像を用いて定義する。
• A-infinity代数に$∞$-内積を備えたものに関連するグラフ複体を構成する。
• $∞$-内積とHochschildコホモロジー上のBV代数構造との間の関係を確立する。
• コchainモデルを用いて、コンパクト多様体に対するチェインレベルでのPoincaré双対性の実現を提供する。
• 古典的な内積を保存する写像を$∞$-設定に一般化し、ホモトピー的不変構造を許容する。

提案手法

• A-infinity代数のHochschildコチェイン複体を、バー余代数$T(sA)$上のコ微分作用素を用いて定義する。
• 二重余代数$T^{sM}(sA)$上のコ微分作用素を用いて、A-infinity代数上のA-infinity双モジュールを定義し、$(D^M)^2 = 0$を満たすようにする。
• 双モジュール間のコ微分作用素を保存する写像としてA-infinity双モジュール写像を定義し、Hochschildコチェイン複体に誘導されるチェイン写像を生成する。
• A-infinity代数$A$からその双対$A^*$へのA-infinity双モジュール写像として$∞$-内積を定義する。
• $∞$-内積構造から、グラフが高次作用素と関係を表すグラフ複体を構成する。
• このグラフ複体における微分が$d^2 = 0$を満たすことを示し、境界のない複体を構成し、内積図式から得られる多面体的構造を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A-infinity代数の文脈において、高次のホモトピー整合性を用いて、内積の概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 A-infinity代数の双対に$∞$-内積を備えたものにおけるHochschildコチェイン複体の構造はどのようなものか。
• RQ3 $∞$-内積が、チェインレベルにおけるPoincaré双対性を符号化するグラフ複体をどのように生成するか。
• RQ4 コンパクト多様体のコチェイン代数における$∞$-内積構造が、そのHochschildコホモロジー上のBV代数構造を実現できるか。
• RQ5 A-infinity代数間の写像で、ホモトピーの下で$∞$-内積を保存する正しい概念は何か。

主な発見

• $∞$-内積は、A-infinity代数からその双対へのA-infinity双モジュール写像として定義され、ホモトピー的整合性構造を介して古典的内積を一般化する。
• $∞$-内積に関連するグラフ複体上の微分$d$は$d^2 = 0$を満たし、well-definedなコホモロジー的構造を保証する。
• $k+l=2$のとき、$<a,b,c>_{k,l}$の境界は五つまたは六つの内積図式の和で表され、$d^2=0$による項のキャンセルが多面体的複体を生じる。
• コンパクト多様体のコチェイン代数における$∞$-内積構造は、そのHochschildコホモロジーにBV代数構造を誘導し、チェインレベルでPoincaré双対性を実現する。
• $∞$-内積構造はホモトピー同値の下でも保存されるため、双対性のホモトピー的不変実現が示唆される。
• $∞$-内積枠組みにより、Hochschildコホモロジー上のGerstenhaber括弧とConnesの$B$作用素のホモトピー論的解釈が可能になる。