[論文レビュー] The c=1 String Theory S-Matrix Revisited

Bruno Balthazar, Victor A. Rodriguez+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リウヴィル理論とバーバラ・コンformalブロックを用いて、木レベルおよび genus-one の振幅を数値的に計算することによって、c=1 ストリング理論のS行列を再考する。2→2 散乱に対しては、共鳴運動量の解析接続が機能しないのに対し、1→3 散乱に対しては機能するという長年のパズルを解明し、DOZZ 構造定数と conformal ブロックの数値積分により genus-one での行列式モデルのS行列を確認し、ユニタリティ制約を含めて完全に一致することを示した。

ABSTRACT

We revisit the perturbative S-matrix of c=1 string theory from the worldsheet perspective. We clarify the origin of the leg pole factors, the non-analyticity of the string amplitudes, and the validity as well as limitations of earlier computations based on resonance momenta. We compute the tree level 4-point amplitude and the genus one 2-point reflection amplitude by numerically integrating Virasoro conformal blocks with DOZZ structure constants on the sphere and on the torus, with sufficiently generic complex Liouville momenta, and find agreement with known answers from the c=1 matrix model.

研究の動機と目的

• c=1 ストリング理論における 2→2 散乱振幅を計算する際に用いられる解析接続法の不一致を解消すること。
• 正確な Liouville 理論と conformal ブロックの統合を用いて、木レベルを超えた c=1 ストリング理論のS行列を体系的に計算すること。
• 特に 1→1 反射振幅に関して、ストリング理論のS行列と c=1 行列式モデルとの等価性を genus-one で検証すること。
• S行列に現れる「脚ポール因子」の起源を、c=25 リウヴィル理論における頂点演算子の適切な正規化に起因するものとして明確にすること。
• ユニタリティを数値的に検証するために、木レベルの 1→2 振幅から得られる genus-one 1→1 振幅の実部が固定されることを確認すること。

提案手法

• c=1 ストリング振幅を、内部の Liouville 動径の積分として、Virasoro conformal ブロックと DOZZ 構造定数の積で表現する。
• 木レベル 4 点関数振幅の効率的数値評価のため、球面 4 点 conformal ブロックのZamolodchikovの再帰的表現を用いる。
• genus-one 振幅のため、トーラス 2 点ブロックを OPE チャネルおよびネックレスチャネルの両方で、一般化された再帰的 conformal ブロック表現を適用して計算する。
• 特異点付近でのモジュライ空間への数値的積分を、OPE チャネルとネックレスチャネルの結果を接続することで実施し、解析接続に伴う contour 変形と留数の追跡を慎重に行う。
• モジュラー不変性のチェックと、大 τ₂ 側のフィッティング関数を用いて、基本領域上の τ 積分を正確に計算する。
• ω の解析接続に伴い極が積分路を crosses する際の留数寄与を含めることで、OPE チャネルとネックレスチャネルの計算の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ c=1 ストリング理論において、共鳴運動量の解析接続法は 1→3 振幅を正しく再現できるが、2→2 振幅には失敗するのか？
• RQ2 一般の運動量において、共鳴領域を超えて c=1 ストリング理論の完全な S 行列式を体系的に計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 S 行列式に現れる「脚ポール因子」の正確な起源は何か？ そして、c=25 リウヴィル理論における頂点演算子の正規化とどのように関係するか？
• RQ4 c=1 ストリング理論における genus-one 1→1 反射振幅は、行列式モデルの予測とどの程度一致するのか？ また、ユニタリティはどのように保たれるのか？
• RQ5 特にモジュライ空間の特異点付近において、Liouville 連関数の数値的積分をどのように安定かつ正確に実行できるか？

主な発見

• 脚ポール因子が c=25 リウヴィル理論における頂点演算子の適切な正規化に起因することを説明し、S 行列式定式化における長年の曖昧さを解消した。
• 共鳴運動量における解析接続により計算された 1→3 振幅が正しく再現され、既知の行列式モデルの結果を確認した。
• 2→2 振幅は、Liouville 連関数の解析的構造が行列式モデル振幅の区分的解析的構造と一致しないため、共鳴運動量法では回復できない。
• genus-one 1→1 反射振幅が数値的に計算され、行列式モデルの予測と一致した。ユニタリティにより固定される虚部も含めて一致した。
• genus-one 1→1 振幅の実部が、ユニタリティにより木レベル 1→2 振幅から固定されることを確認し、非自明な整合性チェックを達成した。
• OPE チャネルとネックレスチャネルの計算の間で数値的一致が確認され、ω の解析接続に伴い極が積分路を crosses する際の留数寄与も含めた。