[論文レビュー] The $C\ell(8)$ algebra of three fermion generations with spin and full internal symmetries

Adam B. Gillard, Niels G. Gresnigt|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

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ひとこと要約

この論文は、スピン、ヘリシティ、弱アイソスピン、電彩色対称性を含む、標準模型フェルミオンの3世代を、自然に複素クリフォード代数 $\mathrm{Cl}(8)$ が符号化することを提案する。$\mathrm{Cl}(6)$ の1世代用フレームワークを $\mathrm{Cl}(8)$ に拡張することで、$\mathrm{Cl}(8)$ の三重性自己同型（triality automorphism）が、正確に3世代を生じる幾何的メカニズムを提供する。左隣接作用素はローレンツおよび弱アイソスピン対称性を符号化し、右隣接作用素は電彩色ゲージ対称性を符号化する。

ABSTRACT

In this paper, the basis states of the minimal left ideals of the complex Clifford algebra $C\ell(8)$ are shown to contain three generations of Standard Model fermion states, with full Lorentzian, right and left chiral, weak isospin, spin, and electrocolor degrees of freedom. The left adjoint action algebra of $C\ell(8)\cong\mathbb{C}(16)$ on its minimal left ideals contains the Dirac algebra, weak isopin and spin transformations. The right adjoint action algebra on the other hand encodes the electrocolor symmetries. These results extend earlier work in the literature that shows that the eight minimal left ideals of $\mathbb{C}(8)\cong C\ell(6)$ contain the quark and lepton states of one generation of fixed spin. Including spin degrees of freedom extends $C\ell(6)$ to $C\ell(8)$, which unlike $C\ell(6)$ admits a triality automorphism. It is this triality that underlies the extension from a single generation of fermions to exactly three generations.

研究の動機と目的

• スピンが固定された1世代のフェルミオンを符号化する $\mathrm{Cl}(6)$ フレームワークを、スピン自由度を含めるように拡張すること。
• $\mathrm{Cl}(6)$ とは異なり、$\mathrm{Cl}(8)$ が三重性自己同型を有し、自然に正確に3世代のフェルミオンを生じることを示すこと。
• $\mathrm{Cl}(8)$ の左および右隣接作用素を物理的対称性として解釈すること：左作用素はローレンツおよび弱アイソスピンを、右作用素は電彩色ゲージ対称性を符号化する。
• 物理的フェルミオン状態が $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathrm{Cl}(7) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ に存在することを示すこと。各 $\mathbb{C}(8)$ ブロックは、固定スピン状態の1世代に対応する。
• 物理的スピノルを保存する $U(4)$ MTIS 対称性群の最大部分群としての $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 電彩色対称性が生じることを確立すること。

提案手法

• $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$ の同型を用い、16個の最小左イデアルを $\mathbb{C}(16)$ 内の16次元の列ベクトルとして表現する。
• イデアル内での左乗法（行の置換）とイデアル間での右乗法（列の置換）を区別し、それぞれ内部対称性と状態変換に対応させる。
• $\mathrm{Cl}(8)$ の左隣接作用素代数 $\mathrm{Cl}(8)_L \cong \mathbb{C}(16)$ を、$C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 構造により、ディラック代数、弱アイソスピン、スピン-$z$ 対称性を符号化するものとして特定する。
• 右隣接作用素代数を MTIS 対称性群 $U(4)$ と特定し、物理的スピノルを保存する $U(3)_{\mathrm{ec}}$ を部分群として特定する。
• $\mathrm{Cl}(8)$ の三重性自己同型を用い、16個の最小左イデアルを3つの異なる世代に写像し、それぞれが $\mathrm{Cl}(7)$-に類似したスピノルブロックに対応する。
• $\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ に制限することで物理的スピノルを得る。各 $\mathbb{C}(8)$ ブロックには、固定スピンフェルミオンの1世代が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{Cl}(8)$ 代数をどのように用いて、スピンと内部対称性を完全に含む3世代のフェルミオンを符号化できるか？
• RQ2 $\mathrm{Cl}(8)$ の三重性が、単一の代数的構造から正確に3世代のフェルミオンを生成する役割を果たすか？
• RQ3 $\mathrm{Cl}(8)$ の左および右隣接作用素が、標準模型におけるローレンツ、弱アイソスピン、電彩色対称性に対応する仕組みは何か？
• RQ4 $\mathrm{Cl}(6)$ から $\mathrm{Cl}(8)$ に拡張することで、スピン自由度の含みと三重性の出現がどのように可能になるか？
• RQ5 $\mathrm{Cl}(8)$ フレームワーク内において、物理的フェルミオン状態と物理的でないピンオル状態とはどのように区別されるか？

主な発見

• $\mathrm{Cl}(8) \cong \mathbb{C}(16)$ の16個の最小左イデアルは、$\mathrm{Cl}^+(8) \cong \mathbb{C}(8) \oplus \mathbb{C}(8)$ 内の3つの $\mathrm{Cl}(7)$-に類似したブロックに対応する3つのフェルミオン世代に分割される。
• $\mathrm{Cl}(8)$ の左隣接作用素は、ディラック代数、弱アイソスピン、スピン-$z$ 対称性を実現し、$C\ell(4)_{\mathrm{Dirac}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{isospin}} \otimes C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 構造が各 $\mathbb{C}(8)$ ブロック上で非可約に作用する。
• 右隣接作用素代数は MTIS 対称性群 $U(4)$ であり、その $U(3)_{\mathrm{ec}}$ 部分群は各 $\mathbb{C}(8)$ ブロック上で非可約に作用し、色荷を保存し、電彩色ゲージ対称性に対応する。
• $\mathrm{Cl}(6)$ には存在しないが、$\mathrm{Cl}(8)$ に存在する三重性自己同型が、正確に3世代のフェルミオンを自然に生じさせる幾何的メカニズムを提供する。
• $C\ell(2)_{\mathrm{spin}}$ 内のランプスピン演算子は、物理的スピノルを物理的でないピンオルに写像する。これにより、物理状態を保存するのは $\mathrm{Cl}(7)_{\mathrm{Dirac+isospin+spin-z}}$ の部分代数に限ることが確認される。
• 192状態（1世代あたり64状態 × 3）の全セットは、16個の最小左イデアルに符号化されており、スピン上昇状態とスピン下降状態は、各イデアルの列の最初の8行と2番目の8行に配置されている。