[論文レビュー] The c-function expansion of a basic hypergeometric function associated to root systems

Jasper V. Stokman|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、根系に関連する基本超幾何関数のc関数展開を導出し、それをqアナログのハリシュ＝チャンドラ級数の級数として表現する。展開係数はqガンマ関数の積として明示的に与えられるqアナログのハリシュ＝チャンドラc関数の形で表され、ヘックマン＝オプダム超幾何関数のqアナログを確立する。

ABSTRACT

We derive an explicit c-function expansion of a basic hypergeometric function associated to root systems. The basic hypergeometric function in question was constructed as explicit series expansion in symmetric Macdonald polynomials by Cherednik in case the associated twisted affine root system is reduced. Its construction was extended to the nonreduced case by the author. It is a meromorphic Weyl group invariant solution of the spectral problem of the Macdonald q-difference operators. The c-function expansion is its explicit expansion in terms of the basis of the space of meromorphic solutions of the spectral problem consisting of q-analogs of the Harish-Chandra series. We express the expansion coefficients in terms of a q-analog of the Harish-Chandra c-function, which is explicitly given as product of q-Gamma functions. The c-function expansion shows that the basic hypergeometric function formally is a q-analog of the Heckman-Opdam hypergeometric function, which in turn specializes to elementary spherical functions on noncompact Riemannian symmetric spaces for special values of the parameters.

研究の動機と目的

• 根系に関連する基本超幾何関数のc関数展開を導出し、チェレドニクの構成を非還元的場合に拡張すること。
• 固有関数をqアナログのハリシュ＝チャンドラ級数の線形結合として表現し、マクドナルドq差分方程式のメロモーフィック解の基底をなすこと。
• 展開係数をqアナログのハリシュ＝チャンドラc関数として特定し、qガンマ関数の積を用いて明示的に与えること。
• 基本超幾何関数が形式的にヘックマン＝オプダム超幾何関数のqアナログであることを確立し、対称空間上の球面関数と関連付けること。

提案手法

• 基本超幾何関数E+は、Weyl群に対して不変で、メロモーフィックな対称マクドナルド多項式の収束級数として構成される。
• マクドナルドq差分作用素のメロモーフィック固有関数の空間は、基本ハリシュ＝チャンドラ級数Φ̂η(·, γ)のWeyl群による軌道によって張られる。
• 係数ĉη(γ)がtに依存しないように前因子Ŵηを正規化することで、E+を∑w∈W₀ ĉη(wγ) Φ̂η(·, wγ)の形に線形結合として展開するc関数展開が導かれる。
• 展開係数はĉη(γ) = ϑ((w₀η)⁻¹ξγ)/ϑ(ξγ) ⋅ c_{kᵈ,q}(γ)として明示的に計算され、ここでϑはテータ関数で、c_{kᵈ,q}(γ)はc関数のqアナログである。
• この構成は、多重度関数kとkᵈの双対性に依拠しており、特に非還元的場合（例えばC∨Cₙ型）に非自明な影響を及ぼし、チェレドニクの仕事の非還元的アフィン根系への拡張を実現する。
• この方法は、q特異関数の漸近解析と、qガンマ関数や基本超幾何級数の性質に依拠しており、アスキーウィルソンおよびルイゼナールズモデルと関連している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根系に関連する基本超幾何関数は、どのようにqアナログのハリシュ＝チャンドラ級数の展開として表現できるか？
• RQ2 この設定におけるc関数展開係数の明示的形は何か？また、既知の特殊関数とどのように関係しているか？
• RQ3 基本超幾何関数は、qアナログのヘックマン＝オプダム超幾何関数とどのように関係しているか？
• RQ4 双対性は非還元的場合、特にC∨Cₙ根系においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 結果は、GLₘ型やランク1系といった既知のモデルにどのように特殊化されるか？

主な発見

• 基本超幾何関数E+のc関数展開は、∑w∈W₀ ĉη(wγ) Φ̂η(·, wγ)として明示的に導出され、係数はスペクトルパラメータtに依存しない。
• 展開係数はĉη(γ) = ϑ((w₀η)⁻¹ξγ)/ϑ(ξγ) ⋅ c_{kᵈ,q}(γ)として与えられ、ここでϑはテータ関数で、c_{kᵈ,q}(γ)はqガンマ関数の積である。
• 還元的場合、関数E+はチェレドニクのグローバル球面関数と一致し、マクドナルド多項式に対する既知の結果が再現される。
• 非還元的場合（例：C∨Cₙ）では、kとkᵈの双対性が多重度関数の非自明な変換を引き起こし、c関数は5つの自由度を持つ。
• この構成はGLₘ型（Aₘ₋₁型）に一般化され、マクドナルドq差分作用素を介してルイゼナールズの相対論的カロゲロ＝モーザー模型と関連づけられる。
• 結果は、E+が形式的にヘックマン＝オプダム超幾何関数のqアナログであることを示しており、特定のパrameter値では非コンパクト対称空間上の基本球面関数に特殊化される。