[論文レビュー] The Calabi flow with rough initial data

Weiyong He, Y. Zeng|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、背景計量に対する小さな摂動条件を満たす $L^∞$-正則性を持つケーラー汎関数を初期データとして持つ場合のカルビ・フローの短時間存在および即時滑らか化を確立する。コンパクトなリーマン多様体上での双調和熱方程式に対する時間重み付きホルダーノルムを用いたシュアウダー型推移を用いて、初期データが $C^{0,\gamma}$ の意味で有界である場合でも、$t>0$ に対して解が即座に滑らかになることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that there exists a dimensional constant $δ> 0$ such that given any background Kähler metric $ω$, the Calabi flow with initial data $u_0$ satisfying \begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in L^\infty (M) ext{ and } (1- δ)ω< ω_{u_0} < (1+δ)ω, \end{equation*} admits a unique short time solution and it becomes smooth immediately, where $ω_{u_0} : = ω+\sqrt{-1}\partial \bar\partial u_0$. The existence time depends on initial data $u_0$ and the metric $ω$. As a corollary, we get that Calabi flow has short time existence for any initial data satisfying \begin{equation*} \partial \bar \partial u_0 \in C^0(M) ext{ and } ω_{u_0} > 0, \end{equation*} which should be interpreted as a "continuous Kähler metric". A main technical ingredient is Schauder-type estimates for biharmonic heat equation on Riemannian manifolds with time weighted Hölder norms.

研究の動機と目的

• 初期データに粗い正則性を持つ場合のカルビ・フローの短時間存在を確立すること、具体的には $\partial\bar{\partial}u_0 \in L^\infty(M)$ かつ $\omega_{u_0}$ が滑らかなケーラー計量の $L^\infty$-近傍にあればよい。
• 初期データが $C^{2,\alpha}$ や $C^{3,\alpha}$ でない場合でも、解が $t>0$ で即座に滑らかになることを証明すること。
• 次元定数 $\delta>0$ を導入することで、任意の滑らかなケーラー計量の周囲に、計量の高階微分に依存しない一様な存在時間近傍を提供すること。
• 近似を用いて連続的ケーラー計量（$\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$, $\omega_{u_0}>0$）への結果の拡張を行い、チェンの予想を弱い正則性領域で確認すること。
• 時間重み付きホルダー空間における双調和熱方程式のシュアウダー型推移を、コア技術的道具として開発および応用すること。

提案手法

• 正規座標と調和半径推移を用いて、双調和熱核およびその微分の一様 $L^\infty$ 界を確立する。
• 時間重み付きホルダーノルムを用いて、閉多様体上での非同次双調和熱方程式に対する一様推移を導出する。
• 積分推移と指数的減衰界を用いて、時間 $t$ に関する $Z * \Psi$（熱核と解核の畳み込み）の微分可能性を証明する。
• パラメトリックス構成と熱核漸近展開を用いて、非同次双調和方程式の解の正則性を制御する。
• 時間重み付きホルダー空間におけるシュアウダー推移を用いて、$t \to 0^+$ のとき $\partial\bar{\partial}\varphi(t)$ の微分の成長を制御する。
• 上記の推移を固定点法と組み合わせることで、粗い初期データに対するカルビ・フロー解の短時間存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データに $L^\infty$-正則性 $\partial\bar{\partial}u_0$ しか持たない場合、$\omega_{u_0}$ が滑らかな背景計量に一様に近いならば、カルビ・フローが存在するか？
• RQ2 初期ポテンシャルが $C^{2,\alpha}$ や $C^{3,\alpha}$ でない場合でも、$t>0$ でカルビ・フローが即座に滑らかになるか？
• RQ3 カルビ・フローの短時間存在を保証する初期データの最適正則性閾値は何か？
• RQ4 近似を用いて連続的ケーラー計量（$\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$, $\omega_{u_0}>0$）への結果の拡張は可能か？
• RQ5 $t \to 0^+$ のとき、$\partial\bar{\partial}\varphi(t)$ の高階時間および空間微分の正確な減衰率は何か？

主な発見

• 任意の初期 $u_0$ に対して $\partial\bar{\partial}u_0 \in L^\infty(M)$ かつ $(1-\delta)\omega < \omega_{u_0} < (1+\delta)\omega$ を満たすような次元定数 $\delta > 0$ が存在し、$M \times (0, T_{g,u_0})$ 上に一意な短時間解が存在する。
• 解 $\varphi(t)$ は $t>0$ で即座に滑らかになり、$\varphi \in C^\infty(M \times (0, T_{g,u_0}))$ である。
• $t \to 0^+$ のとき、任意の $\gamma \in (0,1)$ に対して $\|\varphi(t) - u_0\|_{C^{1,\gamma}(M)} \to 0$ となる。これはホルダーノルムにおける強い収束を示している。
• 任意の $k,l \geq 0$ に対して、重み付きノルムは $\limsup_{t \to 0^+} t^{k/4 + l} \| (\partial_t)^l \nabla^k \partial\bar{\partial}\varphi(t) \|_{C^0(M)} \leq C_{k/4 + l, n} \| \partial\bar{\partial}u_0 \|_{L^\infty(M)}$ を満たし、$t=0$ の近傍での微分の爆発が制御されていることを示している。
• $\partial\bar{\partial}u_0 \in C^0(M)$ のとき、$t \to 0^+$ のとき $\|\varphi(t) - u_0\|_{C^1(M)} + \|\partial\bar{\partial}\varphi(t) - \partial\bar{\partial}u_0\|_{C^0(M)} \to 0$ となる。
• $k,l \geq 0$ で $k+l > 0$ のとき、$\lim_{t \to 0^+} t^{k/4 + l} \| (\partial_t)^l \nabla^k \partial\bar{\partial}\varphi(t) \|_{C^0(M)} = 0$ が成り立ち、即時滑らか化が確認される。