[論文レビュー] The Canny-Emiris conjecture for the sparse resultant

Carlos D’Andrea, Gabriela Jeronimo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多面体の混合分割を用いた初期部の積公式を導入することで、スパース結果式に関するCanny-Emiris予想の一般化されたバージョンを証明する。著者らは、特定の組合せ的条件下で、スパース結果式がCanny-Emiris行列の行列式をその主小行列の行列式で割ったものに等しいことを確立し、Macaulayの公式をスパース設定に拡張し、初めて完全な一般性において予想を確認する。

ABSTRACT

Abstract We present a product formula for the initial parts of the sparse resultant associated with an arbitrary family of supports, generalizing a previous result by Sturmfels. This allows to compute the homogeneities and degrees of this sparse resultant, and its evaluation at systems of Laurent polynomials with smaller supports. We obtain an analogous product formula for some of the initial parts of the principal minors of the Sylvester-type square matrix associated with a mixed subdivision of a polytope. Applying these results, we prove that under suitable hypothesis, the sparse resultant can be computed as the quotient of the determinant of such a square matrix by one of its principal minors. This generalizes the classical Macaulay formula for the homogeneous resultant and confirms a conjecture of Canny and Emiris.

研究の動機と目的

• スパース結果式をSylvester型行列の行列式の商として計算するCanny-Emiris予想を解消すること。
• Sturmfelsの初期部の積公式を任意のサポート族に一般化すること。
• スパース結果式がCanny-Emiris行列の行列式をその主小行列で割ったものに等しくなる条件を確立すること。
• 本質的でないサポートやフルランクでない格子を含む、スパース結果式理論を本質的ケースから完全な一般性へ拡張すること。
• 混合分割と区分的アフィン関数を用いた一様なスパース結果式の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• サポートのミンコフスキー和の混合分割を用いて、スパース結果式の初期部の積公式を導出する。
• 凸な区分的アフィン関数とそのインフィミウム畳み込みを用いてCanny-Emiris行列を定義し、Sylvester型の正方行列を構成する。
• 混合分割における非混合細胞に対応するCanny-Emiris行列の主部分行列を同定する。
• 低次元のサポートへの制限と構成の整合性を用いて、より単純なケースに還元する。
• トーリック多様体と除去理論の理論を適用し、スパース結果式とCanny-Emiris行列の行列式との関係を結ぶ。
• Canny-Emiris行列の行列式がスパース結果式の非ゼロ倍数であり、適切な可容性条件下でその主小行列による商が結果式に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース結果式がCanny-Emiris行列の行列式とその主小行列の行列式の商に等しくなる条件は何か？
• RQ2 混合分割における混合細胞ごとの積として、スパース結果式の初期部をどのように表現できるか？
• RQ3 Canny-Emiris行列とスパース設定におけるMacaulayの公式の正確な関係は何か？
• RQ4 この構成は、部分サポートや低次元アフィン包への制限に対してどのように振る舞うか？
• RQ5 あるアフィン関数族に対して関連する混合分割が可容であるとは、どのような場合か？ これにより商公式の有効性が保証される。

主な発見

• 本稿は、一般化されたCanny-Emiris予想を証明した：関連する混合分割が可容である場合、スパース結果式はCanny-Emiris行列の行列式をその主小行列の行列式で割ったものに等しい。
• 任意のサポート族に一般化された初期部の積公式が新たに確立され、Sturmfelsの先行結果を一般化した。
• 均質結果式に対するMacaulayの公式は、主結果の特別な場合として現れ、これにより独立的な証明が得られる。
• 構成は、本質的でないサポートやフルランクでない格子に対しても拡張され、すべてのケースで一様な振る舞いを保証する。
• 混合分割が可容でない場合、公式は成立しない。特に、タイトで非可容な分割を用いた反例により、主小行列が行列式を割り切らないことが示された。
• Canny-Emiris行列とその主小行列が部分サポートへの制限と整合することを示し、再帰的・帰納的議論が可能になる。