[論文レビュー] The canonical class and the $C^\infty$ properties of Kähler surfaces

Rogier Brussee|ArXiv.org|Mar 10, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、非負なコイダラ次元をもつケーラー多様体に対して、局所化された無限次元フレッドホルム断面のエラーレルスクラスを用いたセイバーウェン・理論により、最小モデルの正規化クラスと(−1)-曲線のホモロジー類が符号を除き向き付き微分同相型不変量であることを確立する。コイダラ次元と多重性が微分同相型不変量であることを証明し、ドナルドソン理論に依存せずに、pg = 0および楕円曲面を含むすべてのこのような多様体において、一様にセイバーウェン不変量を計算する。

ABSTRACT

We give a self contained proof using Seiberg Witten invariants that for Kähler surfaces with non negative Kodaira dimension (including those with $p_g = 0$) the canonical class of the minimal model and the $(-1)$-curves, are oriented diffeomorphism invariants up to sign. This implies that the Kodaira dimension is determined by the underlying differentiable manifold (Van de Ven Conjecture). We use a set up that replaces generic metrics by the construction of a localised Euler class of an infinite dimensional bundle with a Fredholm section. This allows us to compute the Seiberg Witten invariants of all elliptic surfaces with excess intersection theory. We then reprove that the multiplicities of the elliptic fibration are determined by the underlying oriented manifold, and that the plurigenera of a surface are oriented diffeomorphism invariants.

研究の動機と目的

• 非負なコイダラ次元をもつケーラー多様体に対して、最小モデルの正規化クラス Kmin と (−1)-曲線が符号を除き向き付き微分同相型不変量であることを証明すること。
• このような多様体のコイダラ次元と多重性が、基礎となる滑らかな多様体によって決定されることを示すこと。
• 無限次元ゲージ理論における局所化されたエラーレルスクラスのアプローチを用いて、κ ≥ 0 をもつすべてのケーラー多様体のセイバーウェン不変量を一様に計算すること。
• 楕円ファイブレーションの多重性の微分同相型不変性を再証明し、ヴァン・デ・ヴェン予想に対して新しい証明を与えること。

提案手法

• 無限次元バンドルにフレッドホルム断面をもつ局所化されたエラーレルスクラスに基づくセイバーウェン理論の再定式化を用い、余剰交差技術を可能にする。
• ファミリー指数定理（グロタンディーク・リーマン・ロッホ）を用いて、モジュライ空間上の決定的ラインバンドルのチャーン類を計算する。
• セイバーウェン多重性の計算を、垂直ラインバンドルのモジュライ空間と有効除算の間の自然な同型を介して、楕円曲線の対称積へと還元する。
• pg = 0 の場合を一様に取り扱うために、フレッドホルム余核をもつ過剰なモジュライ空間の局所化されたエラーレルスクラスとして多重性を特定する。
• 曲面上のラインバンドルのブローモンフォーミュラを用いて、ブローモンの前後におけるモジュライ空間と多重性を関連付ける。
• ケーラー設定におけるモノポール方程式のホロモーフィック解釈を用い、解とホロモーフィック断面、有効除算を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負なコイダラ次元をもつケーラー多様体の正規化クラス Kmin は、符号を除き向き付き微分同相型不変量か？
• RQ2 κ ≥ 0 をもつケーラー多様体の向き付き微分同相写像のもとで、(−1)-曲線のホモロジー類は保存されるか？
• RQ3 局所化されたエラーレルスクラスを用いて、κ ≥ 0 をもつすべてのケーラー多様体のセイバーウェン不変量を一様に計算できるか？
• RQ4 κ ≥ 0 をもつケーラー多様体の楕円ファイブレーションの多重性は、基礎となる向き付き滑らかな多様体によって決定されるか？
• RQ5 κ ≥ 0 をもつケーラー多様体の多重性は、基礎となる多様体の微分同相型にのみ依存するか？

主な発見

• 非負なコイダラ次元をもつすべてのケーラー多様体に対して、正規化クラス Kmin は符号を除き向き付き微分同相型不変量である。これは pg = 0 の場合を含む。
• すべての (−1)-球面は符号を除き Z-ホモロジー類として (−1)-曲線に同値であり、これは有理型・ルールド多様体の微分同相型特徴づけを確立する。
• ケーラー多様体のコイダラ次元は、基礎となる滑らかな多様体の微分同相型不変量である。
• ケーラー多様体の多重性は、基礎となる向き付き微分同相型不変量によって決定される。
• κ ≥ 0 をもつすべてのケーラー多様体のセイバーウェン不変量は、局所化されたエラーレルスクラスを用いて明示的に計算され、チャーン類および楕円曲線の対称積を用いた閉形式の式で与えられる。
• ケーラー楕円曲面における楕円ファイブレーションの多重性は、基礎となる向き付き滑らかな多様体によって決定され、新しいセイバーウェンに基づく証明により予想が確認された。