[論文レビュー] The canonical heights for Jordan blocks of small eigenvalues, preperiodic points, and the arithmetic degrees

Kaoru Sano|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数体上の滑らかで射影的代数多様体上の自己準同型写像の文脈において、絶対値が小さい固有値に対応するジョルダン細胞に関連する新しい正規化高を導入する。特に対数的商空間における固有値の絶対値が1でないというスペクトル的条件のもとで、点Pが前周期的であることとarithmetic degree α_f(P) = 1が同値であることを証明し、先行する極化自己準同型写像に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

We introduce a new canonical height function for Jordan blocks of small eigenvalues for endomorphisms on smooth projective varieties over a number field. We prove that under an assumption on the eigenvalues of the endomorphism on the group of divisors modulo numerical equivalence, the arithmetic degree at a rational point is equal to one if and only if it is preperiodic under the endomorphism.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的代数多様体上の自己準同型写像に対して、絶対値が0,1でない固有値を持つジョルダン細胞への正規化高理論を拡張すること。
• 除法類群上の作用素のスペクトルデータを用いて、arithmetic degreeの観点から前周期的性の基準を確立すること。
• 極化自己準同型写像に関する Kawaguchi-Silverman の結果を、スペクトル的挙動が制御された非極化ケースに一般化すること。
• 軌道の逆極限空間上での正規化高の定義と特徴付けを行い、自己同型でない力学系の解析を可能にすること。

提案手法

• 逆極限空間 lim_f X(Q̄) 上に定義される正規化高関数 ŝh_{D_j} を、正規化および固有値λを含む関数方程式を用いて導入する。
• 関数方程式 ŝh_{D_j} ∘ f = ŝh_{D_{j-1}} + λ ŝh_{D_j} を用いて、|λ| ≠ 0,1 である固有値のジョルダン細胞の高さを定義する。
• 逆極限空間 lim_f X(Q̄) を用いて、前向きおよび後向きの軌道をモデル化し、自己同型写像を超えた軌道構造を一般化する。
• 除法類群の商空間 V̄_H ⊂ N^1(X)_Q における f^* のスペクトル半径 μ_H(f) を分析し、絶対値が1である固有値を除外する。
• Weil高さ関数および数的同値を用いて、十分な除法子Hの選択に依存しない arithmetic degree α_f(P) を定義する。
• 作用素ノルムの推定およびスペクトル半径の境界を用いて、高さの成長率と f^* の固有値との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f^*|V̄_H にどのようなスペクトル的条件を課すと、arithmetic degree α_f(P) が1であることとPが前周期的であることの同値性が成立するか？
• RQ2 非自己同型力学系において、|λ| ≠ 0,1 である固有値のジョルダン細胞に対して正規化高をどのように定義できるか？
• RQ3 f^* が V̄_H 上に作用するときのスペクトル半径と、反復作用における Weil高さの成長率との関係は何か？
• RQ4 lim_f X(Q̄) 上での正規化高の構成を用いて、arithmetic degree による前周期的点の特徴付けが可能か？
• RQ5 V_H および V̄_H 上での f^* のジョルダン細胞構造は、特に |λ| > √δ_f の固有値についてどのように関係するか？

主な発見

• f^* が V̄_H 上に絶対値が1である固有値を持たない限り、arithmetic degree α_f(P) が1であることとPが前周期的であることの同値性が成り立つ。
• 正規化および固有値λを含む関数方程式によって、正規化高関数 ŝh_{D_j} が存在し、一意に定まる。
• f^* が V̄_H 上に作用するときのスペクトル半径は、|λ| ≥ 1 を満たす固有値λの|λ|の最大値として表される μ_H(f) に等しく、この値が arithmetic degree を上から抑える。
• |λ| > √δ_f である固有値に対しては、商写像を介して V_H 上の f^* のジョルダン細胞構造が V̄_H 上のそれと同型である。
• arithmetic degree α_f(P) が μ_H(f) よりも厳密に小さいことと、Pが前周期的であることの同値性が成り立ち、前周期的性のスペクトル的特徴付けが得られる。
• 本構成は、極化自己準同型写像に対する Kawaguchi-Silverman の結果を、スペクトル的挙動が制御されたより広い自己準同型写像のクラスへ一般化する。