[論文レビュー] The Carathéodory-Fejér Interpolation Problems and the von-Neumann Inequality

Rajeev Gupta|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可換な $3\times3$ 行列に対するフォン・ノイマンの不等式と、多変数単位多角形 $\mathbb{D}^n$ 上の Carathéodory-Fejér 連続性問題へのその応用を調査する。$n=2$ の場合に、Korányi と Pukánzsky の定理に基づく代替的アプローチを用いて、連続性のための必要条件を提示し、Varopoulos が示した定数 $C_2(n)$ の上界を改善し、$\lim_{n\to\infty} C_2(n) \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$ を示す。一般の $n$ に対しては結果が拡張可能であるが、$n>2$ の計算は省略されている。

ABSTRACT

The validity of the von-Neumann inequality for commuting $n$ - tuples of $3 imes 3$ matrices remains open for $n\geq 3$. We give a partial answer to this question, which is used to obtain a necessary condition for the Carathéodory-Fejér interpolation problem on the polydisc $\mathbb D^n.$ In the special case of $n=2$ (which follows from Ando's theorem as well), this necessary condition is made explicit. An alternative approach to the Carathéodory-Fejér interpolation problem, in the special case of $n=2,$ adapting a theorem of Korányi and Pukánzsky is given. As a consequence, a class of polynomials are isolated for which a complete solution to the Carathéodory-Fejér interpolation problem is easily obtained. A natural generalization of the Hankel operators on the Hardy space of $H^2(\mathbb T^2)$ then becomes apparent. Many of our results remain valid for any $n\in \mathbb N,$ however, the computations are somewhat cumbersome for $n>2$ and are omitted. The inequality $\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq 2 K^\mathbb C_G$, where $K_G^\mathbb C$ is the complex Grothendieck constant and \[C_2(n)=\sup\big\{\|p(\boldsymbol T)\|:\|p\|_{\mathbb D^n,\infty}\leq 1, \|\boldsymbol T\|_{\infty} \leq 1 \big\}\] is due to Varopoulos. Here the supremum is taken over all complex polynomials $p$ in $n$ variables of degree at most $2$ and commuting $n$ - tuples $\boldsymbol T:=(T_1,\ldots,T_n)$ of contractions. We show that \[\lim_{n o \infty}C_2(n)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4} K^\mathbb C_G\] obtaining a slight improvement in the inequality of Varopoulos. We show that the normed linear space $\ell^1(n),$ $n>1,$ has no isometric embedding into $k imes k$ complex matrices for any $k\in \mathbb N$ and discuss several infinite dimensional operator space structures on it.

研究の動機と目的

• 可換な $3\times3$ 行列のフォン・ノイマンの不等式に関する未解決問題、特に $n \geq 3$ の場合に焦点を当てる。
• フォン・ノイマンの不等式の枠組みを用いて、多変数単位多角形 $\mathbb{D}^n$ 上の Carathéodory-Fejér 連続性問題に対する必要条件を導出する。
• Korányi と Pukánzsky の定理を応用し、$n=2$ の場合に代替的解法を構築することで、特定の多項式クラスに対して明示的解を得る。
• $H^2(\mathbb{T}^2)$ 上のハンケル作用素の一般化を試み、任意の $n$ にまで結果を拡張するが、計算は複雑さのため $n=2$ に限定される。
• 既知の $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ の上界を改善し、Varopoulos の結果よりもタイトな推定値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$ を示す。

提案手法

• 可換な収縮作用素の $\mathbb{C}^n$ 上における多項式関数計算の有界性を分析するため、フォン・ノイマンの不等式の枠組みを用いる。
• $n=2$ の場合の基礎を確立するため、Ando の定理を参照として適用する。
• Korányi と Pukánzky の結果を適応し、$n=2$ の Carathéodory-Fejér 問題に対する代替的解法路を構築する。
• この方法により、解が完全に得られる多項式のクラスを導出する。
• 作用素空間の技術を用いて、$\ell^1(n)$ の行列代数への等長埋め込みの存在を検討し、$n>1$ の場合にはそのような埋め込みが存在しないことを示す。
• 複素グロテンディーク定数 $K^\mathbb{C}_G$ を用いて、$C_2(n)$ の漸近的挙動を分析する。$C_2(n)$ は、2次多項式と可換な収縮作用素の族の上での $\|p(\boldsymbol{T})\|$ の上界である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な $3\times3$ 行列に対するフォン・ノイマンの不等式を用いて、$\mathbb{D}^n$ 上の Carathéodory-Fejér 連続性問題に対して導ける必要条件は何か？
• RQ2 Korányi と Pukánzky の定理を用いて、$n=2$ の Carathéodory-Fejér 問題に対して代替的解法を構築できるか？
• RQ3 提案された方法のもとで、2変数多項式のどのクラスについて、連続性問題が完全に解けるか？
• RQ4 漸近的定数 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ は Varopoulos の上界と比べてどのように異なるか？また、改善可能か？
• RQ5 $n>1$ の $\ell^1(n)$ は、任意の $k\times k$ 複素行列代数へ等長埋め込みをもつだろうか？

主な発見

• 多変数単位多角形 $\mathbb{D}^n$ 上の Carathéodory-Fejér 連続性問題に対して、必要条件が導出され、$n=2$ の場合に明示的な表現が得られた。
• Korányi と Pukánzky の定理に基づく代替的解法により、$n=2$ の連続性問題に対して完全な解が得られる特定の多項式クラスが特定された。
• 漸近的定数 $\lim_{n\to\infty} C_2(n)$ は、$\frac{3\sqrt{3}}{4}K^\mathbb{C}_G$ で上から抑えられ、Varopoulos の結果よりも改善された。
• $n>1$ の場合のノルム線形空間 $\ell^1(n)$ は、任意の $k\in\mathbb{N}$ に対して、$k\times k$ 複素行列代数へ等長埋め込みをもたない。
• 解析から、$H^2(\mathbb{T}^2)$ 上のハンケル作用素の自然な一般化が得られ、原則として高次元 $n$ へ拡張可能である。
• 多くの結果、特に $C_2(n)$ の改良された上界は、一般の $n$ に対して成り立つが、計算の複雑さのため詳細は $n=2$ に限定されている。