[論文レビュー] $L^p$-$L^q$ multipliers on locally compact groups

Rauan Akylzhanov, Michael Ruzhansky|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 52被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、一般の局所コンpakto な分離可能なユニモジュラー群上で、フーリエおよびスぺクトルマルチプライヤーの $L^p$-$L^q$ マルチプライヤー定理を、群のフォン・ノイマン代数と非可換ローレンツ空間を用いた解析によって確立する。$1 < p \leq q < \infty$ の場合にリツォルキン型定理を証明し、$1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ の場合に refined ホルマンダー型定理を示し、熱核の時間漸近挙動および埋め込み定理に関する新結果を得る。応用として、コンパクトなリー群およびハイゼンベルク群上のサブラプラシアンに適用可能である。

ABSTRACT

In this paper we discuss the $L^p$-$L^q$ boundedness of both spectral and Fourier multipliers on general locally compact separable unimodular groups $G$ for the range $1

研究の動機と目的

• 一般の局所コンパクトで分離可能なユニモジュラー群上で、フーリエおよびスぺクトルマルチプライヤーの $L^p$-$L^q$ 有界性基準を確立すること。
• \mathbb{R}^n$ を超えて非ユークリッド的状況へ、ホルマンダーおよびリツォルキンの古典的結果を一般化すること。
• 正の無限大不変作用素に関連する $L^p$-$L^q$ 範囲の熱核の時間漸近挙動および埋め込み定理を導出すること。
• コンパクトなリー群、ハイゼンベルク群、その他の非アーベル群における既存の $L^p$-マルチプライヤー結果を統一的かつ拡張すること。
• 非可換ローレンツ空間に基づく、非アーベル群におけるマルチプライヤー理論のための新規フレームワークを構築すること。

提案手法

• 一般の局所コンパクトで分離可能なユニモジュラー群上で、ペーレー、ニコルスキー、およびハウスドルフ＝ヤング＝ペーレーの不等式を導出する。
• 群のフォン・ノイマン代数を用いて、非可換ローレンツ空間を通じてマルチプライヤーを解析し、非アーベル状況への拡張を可能にする。
• $1 < p \leq q < \infty$ の場合に、記号の正則性条件を満たすリツォルキン型マルチプライヤー定理を確立する。
• ローレンツ空間技法を用いて、$1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ の場合に、結果をホルマンダー型マルチプライヤー定理へ精緻化する。
• ホルマンダー型定理を応用し、一般のユニモジュラー群上でのスぺクトルマルチプライヤー定理を導出する。
• スぺクトルマルチプライヤー結果を用いて、正の不変作用素の熱核の時間漸近挙動および埋め込み定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 \mathbb{R}^n$ から一般の局所コンパクトで分離可能なユニモジュラー群へ、ホルマンダー型 $L^p$-$L^q$ マルチプライヤー定理を拡張できるか？
• RQ2 非アーベル群上でのフーリエおよびスぺクトルマルチプライヤーの $L^p$-$L^q$ 有界性に必要な十分条件は何か？
• RQ3 群のフォン・ノイマン代数における非可換ローレンツ空間は、非ユークリッド的状況でのマルチプライヤー定理の導出にどのように利用できるか？
• RQ4 このような群上での正の無限大不変作用素の熱核の $L^p$-$L^q$ 時間漸近挙動は何か？
• RQ5 新規のマルチプライヤー定理は、コンパクトなリー群およびハイゼンベルク群上の既知のサブラプラシアンの結果を回復または一般化するか？

主な発見

• 一般の局所コンパクトで分離可能なユニモジュラー群上で、$1 < p \leq q < \infty$ の場合にリツォルキン型 $L^p$-$L^q$ マルチプライヤー定理が確立された。
• $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ の場合に、ホルマンダー型 $L^p$-$L^q$ マルチプライヤー定理が証明され、記号に弱い $L^{p,q}$-型条件のみを要件としている。
• ホルマンダー結果から導かれるスぺクトルマルチプライヤー定理により、正の無限大不変作用素に関連する熱核の $L^p$-$L^q$ 範囲の時間漸近挙動が得られた。
• ハイゼンベルク群 $\mathbb{H}^n$ に対して、スペクトル射影のトレースは $\tau(E_{(0,s)}(\mathcal{L})) = C_n s^{(Q/2)}$ を満たし、$Q = 2n+2$ は同次次元である。
• 結果は、\mathbb{R}^n$、コンパクトなリー群、ハイゼンベルク群における既知の $L^p$-$L^q$ マルチプライヤー定理を回復および一般化する。
• マルチプライヤー定理の応用として、発展型PDEの埋め込み定理および分散推定が導出された。