[論文レビュー] The Cauchy Problem for a Forced Harmonic Oscillator

Raquel M. López, Sergeĭ K. Suslov|ArXiv.org|Jul 12, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 38被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、強制調和振動子を記述する時間に依存するハミルトニアンをもつ1次元シュレーディンガー方程式のコーシー初期値問題に対する正確な解を提示する。一般化フーリエ変換およびヘイゼンベルク＝ワイル群 N(3) の表現を用いて、明示的なグリーン関数（プロパゲーター）を導出し、垂直な電場および磁場の中におけるランダウ準位間の遷移振幅がチャイレル多項式を用いて表現可能であることを示している。

ABSTRACT

We construct an explicit solution of the Cauchy initial value problem for the one-dimensional Schroedinger equation with a time-dependent Hamiltonian operator for the forced harmonic oscillator. The corresponding Green function (propagator) is derived with the help of the generalized Fourier transform and a relation with representations of the Heisenberg-Weyl group N(3) in a certain special case first, and then is extended to the general case. A three parameter extension of the classical Fourier integral is discussed as a by-product. Motion of a particle with a spin in uniform perpendicular magnetic and electric fields is considered as an application; a transition amplitude between Landau levels is evaluated in terms of Charlier polynomials. In addition, we also solve an initial value problem to a similar diffusion-type equation.

研究の動機と目的

• 時間に依存するハミルトニアンをもつシュレーディンガー方程式のコーシー初期値問題を、強制調和振動子のモデルを用いて解くこと。
• 群表現論および一般化フーリエ変換を用いて、プロパゲーター（グリーン関数）の明示的形を導出すること。
• 時間に依存するフーリエ積分の3パラメータ一般化および拡散型方程式への応用を拡張すること。
• 一様な垂直な電場および磁場の中でのスピン1/2粒子の運動にこの形式を適用すること。
• チャイレル多項式を用いてランダウ準位間の遷移振幅を評価し、3次元における対応するプロパゲーターを導出すること。

提案手法

• 特別な場合においてヘイゼンベルク＝ワイル群 N(3) の表現を用いてプロパゲーターを構築し、その後一般の時間に依存する場合に拡張する。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式を解ける形に変換するために一般化フーリエ変換を用いる。
• グリーン関数を $ H(x,y,t) = H_0(x,y,t) e^{a(t)x + b(t)y + c(t)} $ の形で導出し、$ H_0 $ がメーラー核を含むことを示す。
• エルミート多項式およびチャイレル多項式を用いた固有関数展開により、解を積分形および級数形で表現する。
• 解析接続（$ t \to -it $）を用いて、時間に依存する係数をもつ拡散型方程式への結果の拡張を行う。
• 強制関数の時間積分を用いて、プロパゲーターの指数因子における係数 $ a(t), b(t), c(t) $ の明示的積分表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群論的および変換手法を用いて、強制調和振動子のコーシー初期値問題をどのように正確に解くことができるか？
• RQ2 時間に依存する強制調和振動子ハミルトニアンに対するフェインマンプロパゲーターの明示的形は何か？
• RQ3 垂直な電場の影響を受けるランダウ準位間の遷移振幅はどのように振る舞い、特殊関数を用いて表現可能か？
• RQ4 この文脈で生じるフーリエ積分の3パラメータ一般化とは何か？
• RQ5 この解法は、時間に依存する漂流項およびポテンシャル項をもつ拡散型方程式へと拡張可能か？

主な発見

• 強制調和振動子のプロパゲーターは、$ r = e^{-2\kappa t} $ を用いて、$ G(x,y,t) = \sqrt{\frac{r}{\pi(1-r^2)}} \exp\left( \frac{4xyr - (x^2 + y^2)(1 + r^2)}{2(1 - r^2)} \right) e^{a(t)x + b(t)y + c(t)} $ として明示的に導出された。
• 垂直な電場および磁場の中におけるランダウ準位間の遷移振幅は、チャイレル多項式を用いて表現された。
• 方程式 $ \partial_t u = \kappa(\partial_x^2 - x^2)u + f(t)xu - g(t)\partial_x u $ の解は、$ u(x,t) = \int H(x,y,t) u_0(y) dy $ で与えられ、$ H(x,y,t) $ は時間に依存する係数 $ a(t), b(t), c(t) $ を用いて定義される。
• 係数 $ a(t), b(t), c(t) $ は、$ f(s), g(s) $ および双曲線関数を含む積分で与えられ、$ a(0) = b(0) = c(0) = 0 $ を満たす。
• プロパゲーターの級数展開における係数 $ c_{nm}(t) $ は、超幾何関数 $ _2F_0 $ を用いて表現され、$ t > 0 $ に対して $ c_{nm}(t) > 0 $ である。
• この手法により、古典的積分変換を量子力学的文脈に拡張する3パラメータ一般化フーリエ積分が副次的に得られた。