[論文レビュー] The centralizer of Komuro-expansive flows and expansive R^d-actions

Wescley Bonomo, Jorge Rocha+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上に存在する $C^\infty$ Komuro-拡大的流れで、非共鳴的特異点をもつものについて、その中心化子が自明であることを確立している。これは、その流れの唯一の対称性が時間再パrameterizationであることを意味する。さらに、一様な双曲的でない状況を超えて、連続時間系への自明な中心化子の結果の拡張を達成している。また、同次的拡大的 $\mathbb{R}^d$-作用について、準自明な中心化子（連続的線形再パラメータ化からなる）を示し、これらの結果を応用して、自明な中心化子を持つ幾何的ローレンツアトラクタの開かつ稠密な集合の存在を証明している。

ABSTRACT

In this paper we study the centralizer of flows and $\mathbb R^d$-actions on compact Riemannian manifolds. We prove that the centralizer of every $C^\infty$ Komuro-expansive flow with non-ressonant singularities is trivial, meaning it is the smallest possible, and deduce there exists an open and dense subset of geometric Lorenz attractors with trivial centralizer. We show that $\mathbb R^d$-actions obtained as suspension of $\mathbb Z^d$-actions are expansive if and only if the same holds for the $\mathbb Z^d$-actions. We also show that homogeneous expansive $\mathbb R^d$-actions have quasi-trivial centralizers, meaning that it consists of orbit invariant, continuous linear reparametrizations of the $\mathbb R^d$-action. In particular, homogeneous Anosov $\mathbb R^d$-actions have quasi-trivial centralizer.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上に存在する非共鳴的特異点をもつ $C^\infty$ Komuro-拡大的流れの中心化子を特徴づけること。
• 均一な双曲性を越えて、離散時間系から連続時間系の流れへの自明な中心化子の結果を拡張すること。
• 特に同次的拡大的およびアノソフ作用である $\mathbb{R}^d$-作用の中心化子の構造を調査すること。
• 幾何的ローレンツアトラクタが $C^\infty$ 位相において、自明な中心化子をもつ開かつ稠密な部分集合をなすことを確立すること。
• $\mathbb{Z}^d$-作用における拡大性とその $\mathbb{R}^d$-懸垂の関係を明確にすること。

提案手法

• Komuro-拡大性を用いて、任意の可換な流れが元の流れの連続的線形再パラメータ化であることを示すこと。
• 特異点における非共鳴条件を応用し、安定多様体上で中心化子が元のベクトル場のスカラー倍のみからなることを証明すること。
• プラグ・拡大性と軌道のファイブレーションを活用して、$\mathbb{R}^d$-作用の中心化子問題を個々の拡大的要素の性質に還元すること。
• 軌道の不変性と稠密性の議論を用いて、正則軌道上で定義された連続関数を全多様体上へ拡張すること。
• 例えば、トーラス上に1つの非双曲的特異点をもつ特異的流れの例を構成し、中心化子の自明性を検証すること。
• 力学的拡大性とファイブレーション構造を用いて、アノソフ自己同型からアノソフ $\mathbb{R}^d$-作用への結果の拡張を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非共鳴的特異点をもつ $C^\infty$ Komuro-拡大的流れの中心化子が自明になる条件は何か？
• RQ2 非共鳴的特異点の存在が流れの中心化子の構造に与える影響は何か？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$-作用の懸垂が拡大的であるのはいつか？ そして、元の $\mathbb{Z}^d$-作用とどのように関係するか？
• RQ4 同次的拡大的 $\mathbb{R}^d$-作用の中心化子の構造は何か？
• RQ5 特異点をもつすべての強い力学的拡大的流れが自明な中心化子をもつか？

主な発見

• 非共鳴的特異点をもつ任意の $C^\infty$ Komuro-拡大的流れの中心化子は自明であり、時間再パラメータ化のみからなる。
• 幾何的ローレンツアトラクタの開かつ稠密な部分集合が自明な中心化子をもつことが確認され、連続時間系における予想が裏付けられた。
• $\mathbb{Z}^d$-作用の懸垂が拡大的であることは、元の $\mathbb{Z}^d$-作用が拡大的であることと同値である。
• 同次的拡大的 $\mathbb{R}^d$-作用は準自明な中心化子をもち、これは作用の連続的線形再パラメータ化からなる。
• 同次的アノソフ $\mathbb{R}^d$-作用は準自明な中心化子をもち、これは以前の自己同型への結果を高ランク作用へと拡張したものである。
• 1つの非双曲的特異点をもち、無理数的流れ構造をもつトーラス上の特異的流れは、Komuro-拡大的でないが、$C^1$-中心化子は自明である。