[論文レビュー] The chaos game on a general iterated function system from a topological point of view

Michael F. Barnsley, Krzysztof Leśniak|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完備距離空間上の一般の反復関数系（IFS）に対して、一様に離散的（disjunctive）な系列によって生成されるカオスゲームの軌道が、σ-パラシン集合の初期点を除き、吸引子の完全なファイバー構造に収束することを確立している。主な貢献は、ほとんどすべての軌道（カテゴリーの意味で）が、非収縮的で複数の吸引子を有するIFSに対しても吸引子を生成することを示す位相的バーレカテゴリーの結果である。

ABSTRACT

We investigate combinatorial issues relating to the use of random orbit approximations to the attractor of an iterated function system with the aim of clarifying the role of the stochastic process during generation the orbit. A Baire category counterpart of almost sure convergence is presented; and a link between topological and probabilistic methods is observed.

研究の動機と目的

• 収縮性を仮定しない一般の反復関数系（IFS）におけるカオスゲーム軌道の収束を調査すること。
• 確率的カオスゲームにおけるほとんど確実収束の位相的対応を、バーレカテゴリー理論を用いて確立すること。
• 吸引子のすべてのファイバーに交わる軌道を生成する際の、元の系列（決定的か確率的か）の役割を明確化すること。
• データ解析で一般的に見られる一様に離散的系列が、非標準的なIFS設定下でも、吸引子への強固な収束を保証することを示すこと。
• 「ラプンツェルの定理」を導入し、初期点が双対的反発器の内部にあっても、一様に離散的系列によって軌道が反発器から脱出し、吸引子に収束することを証明すること。

提案手法

• 収縮性を仮定しない一般の連続的IFSに対して、完備距離空間上での吸引子とその分岐域を定義すること。
• 吸引子のファイバーの概念を導入し、ファイバー構造に基づいて吸引子を最小ファイバー型、強ファイバー型、点ファイバー型に分類すること。
• アルファベット Σ 上の任意の有限語を含む系列である一様に離散的系列を、カオスゲームにおける確率的系列の位相的置換として導入すること。
• 任意の一様に離散的カオスゲーム軌道の末尾が、吸引子のすべてのファイバーと交わる集合にハウスドルフ距離で収束することを証明すること。
• バーレカテゴリー理論を用いて、強ファイバー型吸引子への収束に失敗する初期点の集合がσ-パラシンであることを示し、これは第一カテゴリーよりも強い概念である。
• 初期点が双対的反発器（分岐域の補集合）にあっても、一様に離散的系列によって軌道が反発器から脱出し、吸引子に収束することを示すことで、「ラプンツェルの定理」を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IFSが収縮的でない場合でも、カオスゲーム軌道が完全な吸引子構造に収束するための位相的条件は何か？
• RQ2 カオスゲームにおける一様に離散的系列の使用は、確率的過程と比較して吸引子への収束においてどのように異なるか？
• RQ3 バーレカテゴリーのような位相的概念は、確率的「ほとんど確実収束」よりも強いか、あるいはより一般的な収束保証を提供できるか？
• RQ4 初期点が点ファイバー型吸引子／反発器ペアの双対的反発器に位置する場合、カオスゲームはどのように振る舞うか？
• RQ5 DNA配列などの決定的データ文字列に基づくカオスゲームは、位相的手段によって、下位の吸引子構造を保証的に明らかにできるか？

主な発見

• 任意の初期点から出発する一様に離散的カオスゲーム軌道の末尾は、吸引子のすべてのファイバーと交わる集合に、ハウスドルフ距離で収束する。
• 強ファイバー型吸引子に対しては、カオスゲームが吸引子に収束しない初期点の集合はσ-パラシンであるため、バーレカテゴリーの意味で小さくなる。
• 一様に離散的確率的過程は、確率1で強ファイバー型吸引子に収束するカオスゲーム軌道を生成する。
• 「ラプンツェルの定理」により、初期点が双対的反発器（内部が空でない）にあっても、一様に離散的系列によって軌道が反発器から脱出し、吸引子に収束することが証明された。
• 一様に離散的系列によって吸引子を生成する点の補集合はσ-パラシンである。これは第一カテゴリーよりも強い概念であり、収束の頑健性を示している。
• 本結果は、古典的なカオスゲーム収束を収縮的IFSに限らず一般化し、組合せ的および位相的性質（一様に離散的であること）が、確率的仮定の代わりに機能できることを示している。