[論文レビュー] The characteristic initial-boundary value problem for the Einstein--massless Vlasov system in spherical symmetry

Georgios Moschidis|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 6被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$\Lambda < 0$ で漸近的に反ド・ジッター（AdS）時空における球対称な相対性理論的質量のないヴラソフ系の特徴的初期境界値問題の適切性を確立する。時空の境界で反射的境界条件を課した場合、$2m/r$ の小さな条件下で滑らかな解の存在、一意性、および継続基準を示し、低正則性でスケール不変なノルムにおけるAdS時空のコーシー安定性を示し、その結果、このような初期データに対して長時間の存在が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we initiate the study of the asymptotically AdS initial-boundary value problem for the Einstein-massless Vlasov system with $Λ&lt;0$ in spherical symmetry. We will establish the existence and uniqueness of a maximal future development for the characteristic initial-boundary value problem in the case when smooth initial data are prescribed on a future light cone $\mathcal{C}^{+}$ emanating from a point at $\{r=0\}$ and a reflecting boundary condition is imposed on conformal infinity $\mathcal{I}$. We will then prove a number of continuation criteria for smooth solutions of the spherically symmetric Einstein-massless Vlasov system, under the condition that the ratio $2m/r$ remains small in a neighborhood of $\{r=0\}$. Finally, we will establish a Cauchy stability statement for Anti-de Sitter spacetime as a solution of the spherically symmetric Einstein-massless Vlasov system under initial perturbations which are small only with respect to a low regularity, scale invariant norm $||\cdot||$. This result will imply, in particular, a long time of existence statement for $||\cdot||$-small initial data. This paper provides the necessary tools for addressing the AdS instability conjecture in the setting of the spherically symmetric Einstein--massless Vlasov system, a task which is carried out in our companion paper. However, the results of this paper are also of independent interest.

研究の動機と目的

• 球対称かつ漸近的に$\Lambda < 0$ なAdS時空における特徴的初期境界値問題の最大未来発展の存在と一意性を確立すること。
• 中心付近で$2m/r \ll 1$ と仮定したもとで滑らかな解の継続基準を導出することにより、正則性と拡張可能性を保証すること。
• 低正則性でスケール不変なノルム$||\cdot||$ で測定した初期摂動が小さい場合に、反ド・ジッター（AdS）時空のコーシー安定性を証明することにより、そのような初期データに対して長時間の存在が保証されることを示すこと。
• 球対称な相対性理論的質量のないヴラソフ系の文脈において、AdS不安定性予想に対処するための基礎的ツールを提供すること。
• 特に、$r=0$ 付近および共形無限遠$\mathcal{I}$ における解の挙動を、反射的境界条件のもとで分析すること。

提案手法

• 球対称時空を記述するために二重光線座標を用い、このゲージでアインシュタイン–質量のないヴラソフ系を定式化することで、発展方程式の体系的解析を可能にする。
• 滑らかな初期データを$r=0$ から出る未来の光円錐$\mathcal{C}^+$ に設定し、共形境界$\mathcal{I}$ に反射的境界条件を課す。
• 初期データの特徴的セットに対する局所的適切性結果を用い、制約伝播とゲージ正規化を組み合わせることで、最大未来発展の存在と一意性を確立する。
• 外部領域における解の一般拡張原理を、質量対半径比$2m/r$ の有界性および計量成分の挙動に依拠して構築する。
• 初期データを測定するための低正則性でスケール不変なノルム$||\cdot||$ を導入し、そのノルムが小さい場合にAdS時空のコーシー安定性を証明する。
• 測地線の流れおよび$\partial_v r$、$\partial_u r$、質量関数$m$ の挙動について、特に$\mathcal{I}$ および$r=0$ 付近で詳細な推定を行う。積分不等式と漸近展開を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球対称かつ$\Lambda < 0$ な漸近的AdS時空において、共形無限遠$\mathcal{I}$ に反射的境界条件を課した場合、特徴的初期境界値問題が一意的な最大未来発展を有するための条件は何か？
• RQ2 $2m/r$ が中心付近で小さい場合に、滑らかな解の滑らかな拡張可能性を保証する継続基準は何か？
• RQ3 低正則性でスケール不変なノルム$||\cdot||$ で測定した初期摂動が小さい場合に、反ド・ジッター（AdS）時空のコーシー安定性を確立できるか？
• RQ4 共形無限遠$\mathcal{I}$ における反射的境界条件が、解のグローバルな存在性と正則性にどのように影響するか？
• RQ5 $\mathcal{I}$ に近い領域における比$2m/r$ の挙動は何か？ また、その挙動は解の最大発展をどのように制限するか？

主な発見

• 球対称なアインシュタイン–質量のないヴラソフ系の特徴的初期境界値問題は、$\mathcal{I}$ で反射的境界条件を課した漸近的AdS時空において適切であり、最大未来発展の存在と一意性が保証される。
• $2m/r \ll 1$ が中心付近の近傍で成り立つ限り、初期データが滑らかで必要な整合性条件を満たしていれば、解は$r=0$ を滑らかに超えて拡張可能である。
• 外部領域における解の一般拡張原理が確立され、$\partial_v r$ の有界性および単調性、$m/r$ の挙動に依拠する。
• 本稿では、$\mathcal{I}$ に近づく点列$(u_n,v_n)$ に対して$\lim_{n\to\infty} \frac{2m}{r}(u_n,v_n) = 1$ が成り立つことを証明し、境界で捕獲面または曲率特異点が形成されることを示唆する。
• 初期データが$||\cdot||$-小である場合に、AdS時空のコーシー安定性が確立され、その結果、このような解に対して長時間の存在が保証される。
• 解析により、$v \geq v_*$ に対して$\partial_v r < 0$ が$u = u_*$ に沿って成り立つことが確認され、$\{u = u_*\} \cap \mathcal{I} = \emptyset$ となる。これにより$u_* < u_{\mathcal{I}}$ が保証され、$2m/r < 1$ が成り立つ限り、解は$\mathcal{I}$ まで正則のままである。