[論文レビュー] The Chebyshev method for the implied volatility

Kathrin Glau, Paul Herold+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、すべての関連するオプションのマーケット度とボラティリティ水準において、高速で高精度かつ閉形式のインプライド・ボラティリティ近似を実現する2変数チェビシェフ多項式補間法を提案する。この手法は、指数的でない誤差減少を達成し、低次の多項式で機械精度に近い精度を実現可能であり、大規模なリアルタイム応用において反復的手法および既存の非反復的手法を凌駕する速度と頑健性を有する。

ABSTRACT

The implied volatility is a crucial element of any financial toolbox, since it is used for quoting and the hedging of options as well as for model calibration. In contrast to the Black-Scholes formula its inverse, the implied volatility, is not explicitly available and numerical approximation is required. We propose a bivariate interpolation of the implied volatility surface based on Chebyshev polynomials. This yields a closed-form approximation of the implied volatility, which is easy to implement and to maintain. We prove a subexponential error decay. This allows us to obtain an accuracy close to machine precision with polynomials of a low degree. We compare the performance of the method in terms of runtime and accuracy to the most common reference methods. In contrast to existing interpolation methods, the proposed method is able to compute the implied volatility for all relevant option data. In this context, numerical experiments confirm a considerable increase in efficiency, especially for large data sets.

研究の動機と目的

• すべての関連するオプションデータ、特に深く内値のオプション、外値のオプション、極端なボラティリティ状態を含む、インプライド・ボラティリティを高速かつ高精度に計算するための手法を開発すること。
• 反復的手法の限界（収束が遅く、初期値の選択に敏感）を克服し、非反復的で閉形式の近似を提供すること。
• 高頻度取引やモデルキャリブレーションに用いられるような大規模データセットにおける、インプライド・ボラティリティの高パフォーマンスなリアルタイム評価を可能にすること。
• 実装・保守が容易であり、勾配ベース最適化に適した導関数計算をサポートすること。
• 補間フレームワークを調整することにより、ラプラスモデルなどのブラック・ショールズ以外のモデルに対しても、同様の性能と精度で一般化・適応可能であるようにすること。

提案手法

• 本手法は、すべての関連するマーケット度と残存期間の組み合わせをカバーする領域において、2変数のチェビシェフ多項式補間を用いることで、オプションデータのグローバルカバレッジを確保する。
• 極端なパrameter領域に対応するため、スケーリング関数を用いたドメイン分割を採用し、補間の精度と収束性を向上させる。
• 正規化されたコール・プライスとマーケット度におけるチェビシェフ基底関数の積の和として近似式を構造化することで、閉形式評価と導関数計算を可能にする。
• オンライン評価を高速化するために、事前に計算されたオフライン補間演算子を用いることで、実行時オーバーヘッドを最小限に抑える。
• 精度の向上には、チェビシェフ補間の指数的でない誤差減少特性を活用し、低次の多項式でも高い精度を達成する。
• 本手法はブラック・ショールズモデルおよびラプラスモデルの両方で検証されており、補間ノードにおける基準インプライド・ボラティリティの計算にBrent-Dekker法が用いられている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反復的で閉形式の手法が、マーケット度やボラティリティの極端な状態を含む、インプライド・ボラティリティ表面全体において、高精度かつ高効率を達成できるか。
• RQ2 チェビシェフ補間の誤差挙動は多項式次数にどのように依存するか。低次の多項式でも機械精度に近い精度を達成できるか。
• RQ3 大規模データセットにおいて、Jäckel（2015）の反復的ソルバーに比べ、実行時間と頑健性の面で優れているか。
• RQ4 近似の多項式構造が、最適化やヘッジング応用における効率的な導関数計算をどの程度サポートできるか。
• RQ5 本手法は、ラプラスモデルなどのブラック・ショールズ以外のモデルに対しても、同様の性能と精度で一般化・適応可能か。

主な発見

• チェビシェフ手法は、多項式次数の増加に伴い指数的でない誤差減少を示し、ラプラスモデルにおいて2次元のチェビシェフグリッドでN=50のとき、誤差が10^-11未満にまで低下する。
• 本手法は、深く内値や遠く外値のオプションを含む、あらゆるオプションタイプにおいて高い精度を維持しており、多くの既存手法が困難とする領域でも有効である。
• 共通ドメインD₁において、本手法は他の非反復的近似手法よりも顕著に高い精度を達成し、同等または優れた実行時間性能を示す。
• Jäckel（2015）の反復的メソッドと比較して、本手法は事前に目標精度を指定することで反復を回避し、実行時間を顕著に短縮する。
• 閉形式の多項式構造により、インプライド・ボラティリティの再評価なしに効率的な導関数計算が可能となり、勾配ベース最適化を支援する。
• 本手法は非常に柔軟に適応可能である。ドメイン分割およびスケーリング関数を変更することで、より小さな特定のデータドメインにカスタマイズ可能であり、さらに効率性が向上する。